《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

18. (8分)下面两个网格图均是 $ 4 × 4 $ 的正方形网格,请分别在两个网格图中选取两个白色的单位正方形并涂黑,使整个网格图满足图下的要求.

答案： 左图（成轴对称图形）：
在第一个网格图中，选择第二行第四列和第四行第二列的白色单位正方形并涂黑。
右图（成中心对称图形）：
在第二个网格图中，选择第一行第三列和第三行第一列的白色单位正方形并涂黑（或其他成中心对称的位置组合，如第一行第一列和第三行第三列等，答案不唯一）。

19. (9分)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x ^ { 2 } - 2 x - 3 m ^ { 2 } = 0 $.
(1) 求证:方程总有两个不相等的实数根;
(2) 若方程的两个实数根分别为 $ \alpha $, $ \beta $,且 $ \alpha + 2 \beta = 5 $,求 $ m $ 的值.

答案：
(1)
一元二次方程 $x^{2}-2x - 3m^{2}=0$，其中 $a = 1$，$b=-2$，$c = - 3m^{2}$。
判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×1×(-3m^{2})=4 + 12m^{2}$。
因为 $m^{2}\geqslant0$，所以 $12m^{2}\geqslant0$，则 $4 + 12m^{2}＞0$。
所以方程总有两个不相等的实数根。
(2)
对于一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，若方程的两根为 $x_1$ 和 $x_2$，根据韦达定理可知 $x_1 + x_2=-\frac{b}{a}$。
在方程 $x^{2}-2x - 3m^{2}=0$ 中，$\alpha+\beta=-\frac{-2}{1}=2$，即 $\alpha = 2-\beta$。
已知 $\alpha + 2\beta = 5$，把 $\alpha = 2-\beta$ 代入 $\alpha + 2\beta = 5$ 中，得到 $2-\beta+2\beta = 5$。
化简可得 $2+\beta = 5$，解得 $\beta = 3$。
把 $\beta = 3$ 代入 $\alpha = 2-\beta$，得 $\alpha = 2 - 3=-1$。
因为对于一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，若方程的两根为 $x_1$ 和 $x_2$，根据韦达定理有 $x_1x_2=\frac{c}{a}$。
在方程 $x^{2}-2x - 3m^{2}=0$ 中，$\alpha\beta=\frac{-3m^{2}}{1}$，把 $\alpha=-1$，$\beta = 3$ 代入可得：
$-1×3=-3m^{2}$，即 $-3=-3m^{2}$，化简得 $m^{2}=1$，解得 $m=\pm1$。
综上，
(1) 证明完毕；
(2) $m$ 的值为 $\pm1$。

20. (10分)某种服装,平均每天可销售 20 件,每件利润是 44 元,经市场调查发现,该品牌服装在每件降价幅度不超过 10 元的情况下,若每件降价 1 元,则每天可多销售 5 件.
(1) 如果每件降价 $ x $ 元,平均每天销售的服装为 $ y _ { 1 } $ 件,试写出 $ y _ { 1 } $ 与 $ x $ 之间的函数关系式.
(2) 如果每天该服装销售的利润总金额记为 $ y _ { 2 } $ 元,当 $ y _ { 2 } = 1600 $ 时,每件应降价多少元?
(3) 每件降价多少元时,该服装每天销售的利润总金额 $ y _ { 2 } $ 最大?最大是多少元?

答案：
(1)$y_1=20+5x$；
(2)$4$元；
(3)降价$10$元，最大利润$2380$元。