《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

23. (11 分)(2023·永吉)如图,抛物线 $ y = x^{2} + bx + c $ 与 $ x $ 轴交于 $ A(-1,0) $,$ B(5,0) $ 两点. 直线 $ l $ 过点 $ A $ 且在第一象限与抛物线相交于点 $ C $.
(1)①求此抛物线的函数解析式；
②当 $ y ＜ 0 $ 时,自变量 $ x $ 的取值范围为$-1 ＜ x ＜ 5$.
(2)设点 $ C $ 的横坐标为 $ m $,作 $ CD \perp x $ 轴于点 $ D $.
①当 $ \triangle ACD $ 为等腰直角三角形时,点 $ C $ 的纵坐标为$m + 1$(用含 $ m $ 的式子表示)；
②在①的条件下,求出点 $ C $ 的坐标.
点 $ C $ 的坐标为 $(6,7)$。

答案：
(1) ① 抛物线 $ y = x^2 + bx + c $ 过点 $ A(-1,0) $ 和 $ B(5,0) $，
由交点式，抛物线的解析式为：
$ y = (x + 1)(x - 5) = x^2 - 4x - 5 $，
故抛物线的函数解析式为：
$ y = x^2 - 4x - 5 $。
② 当 $ y ＜ 0 $ 时，自变量 $ x $ 的取值范围为：
$ -1 ＜ x ＜ 5 $。
(2) 设点 $ C $ 的横坐标为 $ m $，作 $ CD \perp x $ 轴于点 $ D $。
① 当 $ \triangle ACD $ 为等腰直角三角形时，
$ AD = CD $，
点 $ A $ 的横坐标为 $ -1 $，点 $ D $ 的横坐标为 $ m $，
$ AD = m - (-1) = m + 1 $，
点 $ C $ 的纵坐标为 $ y_C $，
$ CD = y_C $，
$ y_C = m + 1 $，
故点 $ C $ 的纵坐标为：
$ m + 1 $。
② 在①的条件下，点 $ C $ 在抛物线上，
$ y_C = m^2 - 4m - 5 $，
又 $ y_C = m + 1 $，
$ m^2 - 4m - 5 = m + 1 $，
$ m^2 - 5m - 6 = 0 $，
解得：
$ m = 6 $ 或 $ m = -1 $，
由于点 $ C $ 在第一象限，
$ m = 6 $，
$ y_C = 6 + 1 = 7 $，
故点 $ C $ 的坐标为：
$ (6,7) $。