《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

21. (10 分)如图,$ AB $,$ CD $ 为 $ \odot O $ 的直径,过点 $ C $ 的切线与 $ AB $ 的延长线交于点 $ P $,$ \angle ABC = 2\angle BCP $,$ E $ 是 $ \overset{\frown}{BD} $ 的中点,弦 $ CE $,$ BD $ 相交于点 $ F $。
(1)求 $ \angle OCB $ 的度数；
(2)若 $ EF = 3 $,求 $ \odot O $ 的直径的长。

答案：
(1) 连接OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，即∠OCP=90°。设∠BCP=x，则∠ABC=2x。
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=2x。
∵∠OCP=∠OCB+∠BCP，
∴2x+x=90°，解得x=30°，
∴∠OCB=2x=60°。
(2)
∵∠OCB=60°，OC=OB，
∴△OCB是等边三角形，
∴OC=OB=BC=r，∠COB=60°。
∵CD是直径，
∴∠BOD=180°-∠COB=120°。
∵E是$\overset{\frown}{BD}$中点，
∴∠BOE=∠EOD=60°，△BOE是等边三角形，BE=OB=r。
设⊙O半径为r，C(r/2, (r√3)/2)，E(r/2, -(r√3)/2)，CE为竖直线x=r/2。BD的斜率k=( - (r√3)/2 - 0 ) / ( - r/2 - r )=√3/³，方程为y=(√3/3)(x - r)。联立x=r/2，得F(r/2, - r√3/6)。
EF=| - (r√3)/2 - (- r√3/6)|=r√3/3=3，解得r=3√3，直径AB=2r=6√3。
(1) 60°；
(2) 6√3

22. (10 分)(2023·东营)我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形。
(1)如图①,$ \triangle ABC $ 是等边三角形,在 $ BC $ 上任取一点 $ D $($ B $,$ C $ 除外),连接 $ AD $,我们把 $ \triangle ABD $ 绕点 $ A $ 逆时针旋转 $ 60^{\circ} $,则 $ AB $ 与 $ AC $ 重合,点 $ D $ 的对应点为 $ E $。请根据给出的定义判断,四边形 $ ADCE $______是(填“是”或“不是”)等补四边形。
(2)如图②,等补四边形 $ ABCD $ 中,$ AB = BC $,$ \angle ABC = \angle ADC = 90^{\circ} $,若 $ S_{四边形ABCD} = 8 $,求 $ BD $ 的长。
(3)如图③,四边形 $ ABCD $ 中,$ AB = BC $,$ \angle A + \angle C = 180^{\circ} $,$ BD = 5 $,求四边形 $ ABCD $ 面积的最大值。

(2)4；(3)25/2

答案：
(1)是；
(2)4；
(3)25/2