《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

23. (11分)阅读理解：
转化思想是常用的数学思想之一. 在研究新问题或复杂问题时,常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决. 如解一元二次方程是转化为一元一次方程来解决的,解分式方程是转化为整式方程来解决的. 利用转化思想,我们还可以解一些新的方程,如无理方程(根号下含有未知数的方程). 解无理方程的关键是要去掉根号,可以将方程适当变形后两边同时平方,将其转化为整式方程. 因为“去根号”可能产生不适合原方程的根,所以解无理方程也必须检验.
例如：解方程$\sqrt{x^{2}+12}= 2x$.
解：两边平方,得$x^{2}+12 = 4x^{2}$.
解得$x_{1}= 2$,$x_{2}= -2$.
经检验,$x_{1}= 2$是原方程的根,$x_{2}= -2$不是原方程的根.
所以原方程的根是$x = 2$.
解决问题：
(1)解方程$\sqrt{x + 6}= x$.
(2)代数式$\sqrt{x^{2}+9}+\sqrt{(8 - x)^{2}+9}的值能否等于8$？若能,求出$x$的值；若不能,请说明理由.

答案：
(1)解：$\sqrt{x + 6}= x$
$\because\sqrt{x + 6}\geq0$，$\therefore x\geq0$，且$x + 6\geq0$
两边平方得：$x + 6=x^{2}$
即$x^{2}-x - 6 = 0$
因式分解：$(x - 3)(x + 2)=0$
解得$x_{1}=3$，$x_{2}=-2$
检验：$x=-2＜0$（舍），$x = 3$时，左边$=\sqrt{3 + 6}=3$，右边$=3$
$\therefore$原方程的根是$x = 3$
(2)不能
假设$\sqrt{x^{2}+9}+\sqrt{(8 - x)^{2}+9}=8$
设$a=\sqrt{x^{2}+9}$，$b=\sqrt{(8 - x)^{2}+9}$，则$a + b=8$，$a\geq3$，$b\geq3$
$\because b=8 - a$，$\therefore b^{2}=64 - 16a + a^{2}$
又$b^{2}=(8 - x)^{2}+9=x^{2}-16x + 73$，$a^{2}=x^{2}+9$
$\therefore x^{2}-16x + 73=64 - 16\sqrt{x^{2}+9}+x^{2}+9$
化简得$-16x=-16\sqrt{x^{2}+9}$，即$x=\sqrt{x^{2}+9}$
平方得$x^{2}=x^{2}+9$，$0 = 9$（矛盾）
$\therefore$代数式的值不能等于8