《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

22. (10 分)如图,已知正比例函数 $ y = 2x $ 和反比例函数的图象交于点 $ A(m, -2) $.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)观察图象,直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量 $ x $ 的取值范围；
(3)若双曲线上点 $ C(2, n) $ 沿 $ OA $ 方向平移 $ \sqrt{5} $ 个单位长度得到点 $ B $,判断四边形 $ OABC $ 的形状,并证明你的结论.

答案：
(1) $ y=\frac{2}{x} $；
(2) $ -1＜x＜0 $ 或 $ x＞1 $；
(3) 菱形。

23. (10 分)(2023·苏州)如图,一次函数 $ y = 2x $ 的图象与反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $($ x ＞ 0 $)的图象交于点 $ A(4, n) $. 将点 $ A $ 沿 $ x $ 轴正方向平移 $ m $ 个单位长度得到点 $ B $,$ D $ 为 $ x $ 轴正半轴上的点,点 $ B $ 的横坐标大于点 $ D $ 的横坐标,连接 $ BD $,$ BD $ 的中点 $ C $ 在反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $($ x ＞ 0 $)的图象上.
(1)求 $ n $,$ k $ 的值.
(2)当 $ m $ 为何值时,$ AB \cdot OD $ 的值最大？最大值是多少？

答案：
(1)
因为点 $A(4,n)$ 在一次函数 $y = 2x$ 的图象上，
所以$n = 2 × 4 = 8$，
因为点 $A(4,8)$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，
所以$k = 4 × 8 = 32$，
综上，$n=8$，$k = 32$。
(2)
由题意得，点 $B$ 的坐标为 $(4 + m,8)$，
因为点 $C$ 是 $BD$ 的中点，且 $C$ 在反比例函数 $y = \frac{32}{x}$ 的图象上，
设$D(a,0)$，
则$C(\frac{4 + m + a}{2},4)$，
所以$\frac{4 + m + a}{2} × 4 = 32$，
化简得$a = 12 - m$，
所以$OD = 12 - m$，
因为$AB = m$，
所以$AB \cdot OD = m(12 - m)= - m^{2} + 12m = - (m - 6)^{2} + 36$，
所以当$m = 6$时，$AB \cdot OD$的值最大，最大值是$36$，
综上，当$m = 6$时，$AB \cdot OD$的值最大；最大值是$36$。