《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

18. (10 分)如图,在正方形网格中,$\triangle ABC$的三个顶点都在格点上,点$A$,$B$,$C的坐标分别为(-2,4)$,$(-2,0)$,$(-4,1)$,结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
(1)画出$\triangle ABC关于原点O对称的\triangle A_1B_1C_1$.
(2)平移$\triangle ABC$,使点$A移动到点A_2(0,2)$,画出平移后的$\triangle A_2B_2C_2$,并写出点$B_2$,$C_2$的坐标.
(3)在$\triangle ABC$,$\triangle A_1B_1C_1和\triangle A_2B_2C_2$中,$\triangle A_2B_2C_2$与______成中心对称,其对称中心的坐标为______.

(1) 因为关于原点对称的点的坐标特征是横、纵坐标均互为相反数，已知$A(-2,4)$，$B(-2,0)$，$C(-4,1)$，所以$A_1(2,-4)$，$B_1(2,0)$，$C_1(4,-1)$。在坐标系中描出$A_1$，$B_1$，$C_1$，连接各点得$\triangle A_1B_1C_1$。
(2) 点$A(-2,4)$平移到$A_2(0,2)$，平移规律为：横坐标加$2$，纵坐标减$2$。则$B(-2,0)$平移后$B_2(-2+2,0-2)=(0,-2)$；$C(-4,1)$平移后$C_2(-4+2,1-2)=(-2,-1)$。在坐标系中描出$A_2(0,2)$，$B_2(0,-2)$，$C_2(-2,-1)$，连接各点得$\triangle A_2B_2C_2$。点$B_2$坐标为$(0,-2)$，$C_2$坐标为$(-2,-1)$。
(3)$\triangle A_1B_1C_1$；$(1,-1)$

答案：
(1) 因为关于原点对称的点的坐标特征是横、纵坐标均互为相反数，已知$A(-2,4)$，$B(-2,0)$，$C(-4,1)$，所以$A_1(2,-4)$，$B_1(2,0)$，$C_1(4,-1)$。在坐标系中描出$A_1$，$B_1$，$C_1$，连接各点得$\triangle A_1B_1C_1$。
(2) 点$A(-2,4)$平移到$A_2(0,2)$，平移规律为：横坐标加$2$，纵坐标减$2$。则$B(-2,0)$平移后$B_2(-2+2,0-2)=(0,-2)$；$C(-4,1)$平移后$C_2(-4+2,1-2)=(-2,-1)$。在坐标系中描出$A_2(0,2)$，$B_2(0,-2)$，$C_2(-2,-1)$，连接各点得$\triangle A_2B_2C_2$。点$B_2$坐标为$(0,-2)$，$C_2$坐标为$(-2,-1)$。
(3)$\triangle A_1B_1C_1$；$(1,-1)$

19. (10 分)如图,已知$AC\perp BC$,垂足为$C$,$AC = 4$,$BC = 3\sqrt{3}$. 将线段$AC绕点A按逆时针方向旋转60^{\circ}$,得到线段$AD$,连接$DC$,$DB$.
(1)线段$DC = $4；
(2)求线段$DB$的长度.

(2)过点$D$作$DE\perp BC$于点$E$。因为$\triangle ACD$是等边三角形，所以$\angle ACD = 60^{\circ}$。又因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，所以$\angle DCE=30^{\circ}$。在$Rt\triangle DEC$中，$\angle DCE = 30^{\circ}$，$DC = 4$，则$DE = 2$，根据勾股定理$CE=\sqrt{4^{2}-2^{2}} = 2\sqrt{3}$。已知$BC = 3\sqrt{3}$，所以$BE=BC - CE=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}$。在$Rt\triangle BDE$中，根据勾股定理$DB=\sqrt{DE^{2}+BE^{2}}=\sqrt{2^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{7}$。

答案：
(1)
因为$AC = AD$，$\angle CAD = 60^{\circ}$，所以$\triangle ACD$是等边三角形。
则$DC=AC = 4$。
(2)
过点$D$作$DE\perp BC$于点$E$。
因为$\triangle ACD$是等边三角形，所以$\angle ACD = 60^{\circ}$。
又因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，所以$\angle DCE=30^{\circ}$。
在$Rt\triangle DEC$中，$\angle DCE = 30^{\circ}$，$DC = 4$，则$DE = 2$，根据勾股定理$CE=\sqrt{4^{2}-2^{2}} = 2\sqrt{3}$。
已知$BC = 3\sqrt{3}$，所以$BE=BC - CE=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
在$Rt\triangle BDE$中，根据勾股定理$DB=\sqrt{DE^{2}+BE^{2}}=\sqrt{2^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{7}$。
综上，答案依次为：
(1)$4$；
(2)$\sqrt{7}$。