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20. (10 分)如图,在$\triangle ABC$中,$AB = 2BC$,$D$,$E分别为AB$,$AC$的中点,连接$DE$.
(1)将$\triangle ADE绕点E旋转180^{\circ}得到\triangle CFE$,画出图形；
(2)试判断四边形$BCFD$的形状,并说明理由.
(1)将$\triangle ADE绕点E旋转180^{\circ}得到\triangle CFE$,画出图形；
(2)试判断四边形$BCFD$的形状,并说明理由.
答案：
(1) 画图：延长DE至点F，使EF=DE，连接CF，△CFE即为所求。
(2) 四边形BCFD是菱形。理由如下：
∵D，E分别为AB，AC中点，
∴DE是△ABC中位线，
∴DE=1/2BC，DE//BC。
∵△ADE绕点E旋转180°得△CFE，
∴△ADE≌△CFE，
∴DE=EF，∠ADE=∠CFE。
∴DF=DE+EF=2DE=BC，且DF//BC（∠ADE=∠CFE得AD//CF，又AD=DB，
∴DB//CF）。
∴四边形BCFD是平行四边形（对边平行且相等）。
∵D为AB中点，AB=2BC，
∴DB=1/2AB=BC。
∴平行四边形BCFD中，DB=BC，故四边形BCFD是菱形。
(1) 画图：延长DE至点F，使EF=DE，连接CF，△CFE即为所求。
(2) 四边形BCFD是菱形。理由如下：
∵D，E分别为AB，AC中点，
∴DE是△ABC中位线，
∴DE=1/2BC，DE//BC。
∵△ADE绕点E旋转180°得△CFE，
∴△ADE≌△CFE，
∴DE=EF，∠ADE=∠CFE。
∴DF=DE+EF=2DE=BC，且DF//BC（∠ADE=∠CFE得AD//CF，又AD=DB，
∴DB//CF）。
∴四边形BCFD是平行四边形（对边平行且相等）。
∵D为AB中点，AB=2BC，
∴DB=1/2AB=BC。
∴平行四边形BCFD中，DB=BC，故四边形BCFD是菱形。
21. (10 分)将一副直角三角板$DOE与AOC$叠放在一起,如图①,$\angle O = 90^{\circ}$,$\angle A = 30^{\circ}$,$\angle E = 45^{\circ}$,$OD＞OC$. 在两三角板所在平面内,将三角板$DOE绕点O顺时针方向旋转\alpha(0^{\circ} ＜ \alpha ＜ 90^{\circ})到D_1OE_1$位置,使$OD_1// AC$,如图②.
(1)求$\alpha$的值；
(2)如图③,继续将三角板$DOE绕点O$顺时针方向旋转,使点$E落在AC边上点E_2$处,点$D落在点D_2$处,设$E_2D_2交OD_1于点G$,$OE_1交AC于点H$,若$G是E_2D_2$的中点,试判断四边形$OHE_2G$的形状,并说明理由.
(1)求$\alpha$的值；
(2)如图③,继续将三角板$DOE绕点O$顺时针方向旋转,使点$E落在AC边上点E_2$处,点$D落在点D_2$处,设$E_2D_2交OD_1于点G$,$OE_1交AC于点H$,若$G是E_2D_2$的中点,试判断四边形$OHE_2G$的形状,并说明理由.
答案：
(1) $\alpha=30^{\circ}$；
(2) 四边形$OHE_2G$是正方形.
(1) $\alpha=30^{\circ}$；
(2) 四边形$OHE_2G$是正方形.
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