《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

14. (2023·吴忠)如图,正六边形 $ ABCDEF $ 的边长为 $ 2 $,以 $ A $ 为圆心,$ AC $ 的长为半径画弧,得 $ \overset{\frown}{EC} $,连接 $ AC $,$ AE $,则图中阴影部分的面积为$2\pi$。

答案： $2\pi$

15. (2023·东莞)如图,在矩形 $ ABCD $ 中,$ AB = 2 $,$ BC = 3 $,$ E $ 是矩形内部的一个动点,且 $ AE \perp BE $,则线段 $ CE $ 的最小值为√10 - 1。

答案： √10 - 1

16. (8 分)解方程：
(1)$ 2x^{2}+6x - 3 = 0 $；
(2)$ x^{2}-4 = 3(x + 2) $。

答案：
(1) 解：
$a = 2, b = 6, c = -3$，
$\Delta =b^{2}-4ac = 6^{2} - 4 × 2 × ( - 3) = 36 + 24 = 60$，
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{60}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{15}}{2}$，
所以$x_{1} = \frac{- 3 + \sqrt{15}}{2}$，$x_{2} = \frac{- 3 - \sqrt{15}}{2}$；
(2) 解：
$x^{2} - 4 = 3x + 6$，
$x^{2} - 3x - 10 = 0$，
$(x - 5)(x + 2) = 0$，
$x - 5 = 0$ 或 $x + 2 = 0$，
解得$x_{1} = 5$，$x_{2} = - 2$。

17. (8 分)如图,在平面直角坐标系中,$ \triangle ABC $ 的顶点坐标分别为 $ A(2,4) $,$ B(4,3) $,$ C(1,0) $。
(1)画出 $ \triangle ABC $,并作出 $ \triangle ABC $ 关于原点对称的 $ \triangle A_{1}B_{1}C_{1} $；
(2)作出 $ \triangle ABC $ 绕点 $ C $ 顺时针旋转 $ 90^{\circ} $ 得到的 $ \triangle A_{2}B_{2}C $,并求出点 $ A $ 旋转到点 $ A_{2} $ 经过的路径长。

答案：
(1) 根据题目给出的顶点坐标，在平面直角坐标系中画出 $\triangle ABC$，其中 $A(2,4)$，$B(4,3)$，$C(1,0)$。
关于原点对称的点 $A_1, B_1, C_1$ 的坐标分别为：
$A_1(-2, -4)$，$B_1(-4, -3)$，$C_1(-1, 0)$。
在坐标系中标出这些点，并连接成三角形 $\triangle A_1B_1C_1$。
(2) $\triangle ABC$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$，
则点$A$绕点$C$顺时针旋转$90^{\circ}$后的新坐标（可以通过旋转矩阵计算，但此处直接给出结果）：
$A_2$ 的坐标为 $(4, -1)$，
同理：
$B_2$ 的坐标为 $(4, -2)$，
$C$ 点不动，仍为 $(1, 0)$。
在坐标系中标出这些点，并连接成三角形 $\triangle A_2B_2C$。
点 $A$ 旋转到点 $A_2$ 经过的路径是一个以 $C$ 为圆心，$CA$ 为半径的 $90^{\circ}$ 圆弧。
$CA$的长度为：
$\sqrt{(2-1)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{17}$，
因此，路径长为：
$\frac{1}{4} × 2\pi × \sqrt{17} = \frac{\sqrt{17}}{2}\pi$。