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18. (9 分)如图,已知$\odot O的弦CD垂直于直径AB$,点$E在CD$上,且$EC = EB$.
(1)求证：$\triangle CEB\backsim\triangle CBD$；
(2)若$CE = 3$,$CB = 5$,求$DE$的长.
(1)求证：$\triangle CEB\backsim\triangle CBD$；
(2)若$CE = 3$,$CB = 5$,求$DE$的长.
答案：
(2) DE=16/3。
(2) DE=16/3。
19. (9 分)如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$D为BC$上一点(不与点$B$,$C$重合),连接$AD$,以$AD为边作\triangle ADE$,$DE交AC于点F$,其中$AD = AE$,$\angle ADE= \angle B$.
(1)求证：$\triangle ABD\backsim\triangle AEF$；
(2)若$\frac{BD}{EF}= \frac{4}{3}$,记$\triangle ABD的面积为S_1$,$\triangle AEF的面积为S_2$,求$\frac{S_1}{S_2}$的值.
(1)求证：$\triangle ABD\backsim\triangle AEF$；
(2)若$\frac{BD}{EF}= \frac{4}{3}$,记$\triangle ABD的面积为S_1$,$\triangle AEF的面积为S_2$,求$\frac{S_1}{S_2}$的值.
答案：
(1)证明：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED．
∵∠ADE=∠B，
∴∠AED=∠B．
∵∠BAC=180°-2∠B，∠DAE=180°-2∠ADE=180°-2∠B，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠EAF．
在△ABD和△AEF中，∠B=∠AEF，∠BAD=∠EAF，
∴△ABD∽△AEF．
(2)解：
∵△ABD∽△AEF，
∴相似比为$\frac{BD}{EF}=\frac{4}{3}$．
∴$\frac{S_1}{S_2}=(\frac{BD}{EF})^2=(\frac{4}{3})^2=\frac{16}{9}$．
(1)得证；
(2)$\frac{16}{9}$．
(1)证明：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED．
∵∠ADE=∠B，
∴∠AED=∠B．
∵∠BAC=180°-2∠B，∠DAE=180°-2∠ADE=180°-2∠B，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠EAF．
在△ABD和△AEF中，∠B=∠AEF，∠BAD=∠EAF，
∴△ABD∽△AEF．
(2)解：
∵△ABD∽△AEF，
∴相似比为$\frac{BD}{EF}=\frac{4}{3}$．
∴$\frac{S_1}{S_2}=(\frac{BD}{EF})^2=(\frac{4}{3})^2=\frac{16}{9}$．
(1)得证；
(2)$\frac{16}{9}$．
20. (10 分)阅读下面材料：
小腾遇到这样一个问题：如图①,在$\triangle ABC$中,点$D在线段BC$上,$\angle BAD = 75^{\circ}$,$\angle CAD = 30^{\circ}$,$AD = 2$,$BD = 2DC$,求$AC$的长.
小腾发现,过点$C作CE// AB$,交$AD的延长线于点E$,通过构造$\triangle ACE$,经过推理和计算能够使问题得到解决(如图②).
请回答：$\angle ACE$的度数为
参考小腾思考问题的方法,解决问题：
如图③,在四边形$ABCD$中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$\angle CAD = 30^{\circ}$,$\angle ADC = 75^{\circ}$,$AC与BD交于点E$,$AE = 2$,$BE = 2ED$,求$BC$的长.
小腾遇到这样一个问题：如图①,在$\triangle ABC$中,点$D在线段BC$上,$\angle BAD = 75^{\circ}$,$\angle CAD = 30^{\circ}$,$AD = 2$,$BD = 2DC$,求$AC$的长.
小腾发现,过点$C作CE// AB$,交$AD的延长线于点E$,通过构造$\triangle ACE$,经过推理和计算能够使问题得到解决(如图②).
请回答：$\angle ACE$的度数为
75°
,$AC$的长为3
.参考小腾思考问题的方法,解决问题：
如图③,在四边形$ABCD$中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$\angle CAD = 30^{\circ}$,$\angle ADC = 75^{\circ}$,$AC与BD交于点E$,$AE = 2$,$BE = 2ED$,求$BC$的长.
$2\sqrt{6}$
答案：
第一部分
1. 求∠ACE的度数
过点$ C $作$ CE // AB $，交$ AD $延长线于$ E $。
由于$ CE // AB $，内错角相等，得$ \angle E = \angle BAD = 75° $。
在$ \triangle ACE $中，$ \angle CAD = 30° $，则$ \angle ACE = 180° - \angle CAD - \angle E = 180° - 30° - 75° = 75° $。
2. 求AC的长
由$ CE // AB $，得$ \triangle ABD \sim \triangle ECD $，相似比$ \frac{BD}{DC} = \frac{AD}{DE} = 2 $。
已知$ AD = 2 $，则$ DE = 1 $，故$ AE = AD + DE = 3 $。
在$ \triangle ACE $中，$ \angle ACE = \angle E = 75° $，所以$ AC = AE = 3 $。
答案：75°，3
第二部分
求BC的长
过点$ D $作$ DF // AB $交$ AC $于$ F $。
1. 相似三角形与比例线段
由于$ DF // AB $，$ \triangle ABE \sim \triangle FDE $，相似比$ \frac{BE}{ED} = 2 $，故$ \frac{AE}{EF} = 2 $。
已知$ AE = 2 $，则$ EF = 1 $，$ AF = AE + EF = 3 $。
2. 解$ \triangle ADF $
在$ \triangle ADC $中，$ \angle CAD = 30° $，$ \angle ADC = 75° $，则$ \angle ACD = 75° $，故$ AC = AD $。
设$ AC = AD = x $，在$ Rt\triangle AFD $中，$ \angle DAF = 30° $，$ \cos 30° = \frac{AF}{AD} $，即$ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{x} $，解得$ x = 2\sqrt{3} $，故$ AC = AD = 2\sqrt{3} $。
3. 求AB与BC
在$ Rt\triangle AFD $中，$ DF = AD \cdot \sin 30° = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3} $。
由$ \triangle ABE \sim \triangle FDE $，得$ AB = 2DF = 2\sqrt{3} $。
在$ Rt\triangle ABC $中，$ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3})^2} = 2\sqrt{6} $。
答案：$ 2\sqrt{6} $
最终答案
(1) 75°，3；
(2) $ 2\sqrt{6} $
1. 求∠ACE的度数
过点$ C $作$ CE // AB $，交$ AD $延长线于$ E $。
由于$ CE // AB $，内错角相等，得$ \angle E = \angle BAD = 75° $。
在$ \triangle ACE $中，$ \angle CAD = 30° $，则$ \angle ACE = 180° - \angle CAD - \angle E = 180° - 30° - 75° = 75° $。
2. 求AC的长
由$ CE // AB $，得$ \triangle ABD \sim \triangle ECD $，相似比$ \frac{BD}{DC} = \frac{AD}{DE} = 2 $。
已知$ AD = 2 $，则$ DE = 1 $，故$ AE = AD + DE = 3 $。
在$ \triangle ACE $中，$ \angle ACE = \angle E = 75° $，所以$ AC = AE = 3 $。
答案：75°，3
第二部分
求BC的长
过点$ D $作$ DF // AB $交$ AC $于$ F $。
1. 相似三角形与比例线段
由于$ DF // AB $，$ \triangle ABE \sim \triangle FDE $，相似比$ \frac{BE}{ED} = 2 $，故$ \frac{AE}{EF} = 2 $。
已知$ AE = 2 $，则$ EF = 1 $，$ AF = AE + EF = 3 $。
2. 解$ \triangle ADF $
在$ \triangle ADC $中，$ \angle CAD = 30° $，$ \angle ADC = 75° $，则$ \angle ACD = 75° $，故$ AC = AD $。
设$ AC = AD = x $，在$ Rt\triangle AFD $中，$ \angle DAF = 30° $，$ \cos 30° = \frac{AF}{AD} $，即$ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{x} $，解得$ x = 2\sqrt{3} $，故$ AC = AD = 2\sqrt{3} $。
3. 求AB与BC
在$ Rt\triangle AFD $中，$ DF = AD \cdot \sin 30° = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3} $。
由$ \triangle ABE \sim \triangle FDE $，得$ AB = 2DF = 2\sqrt{3} $。
在$ Rt\triangle ABC $中，$ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3})^2} = 2\sqrt{6} $。
答案：$ 2\sqrt{6} $
最终答案
(1) 75°，3；
(2) $ 2\sqrt{6} $
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