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22. (10 分)(2023·杭州)如图,$\odot O的直径BC$为 6 cm,弦$AC$为 3 cm,$\angle CAB的平分线交\odot O于点D$。
(1)求$\angle CBD$的度数；
(2)求阴影部分的面积。
(1)求$\angle CBD$的度数；
(2)求阴影部分的面积。
答案：
(1)
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°。
在Rt△ABC中，BC=6cm，AC=3cm，
∴sin∠ABC=AC/BC=3/6=1/2，
∴∠ABC=30°，∠ACB=60°。
∵AD平分∠CAB，∠CAB=90°，
∴∠CAD=∠DAB=45°。
∵∠CAD与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴∠CBD=∠CAD=45°。
(2)
∵BC=6cm，
∴⊙O半径r=3cm。
由
(1)知∠CBD=45°，
∴弧BD所对圆心角∠BOD=2∠CBD=90°。
扇形BOD面积：S扇形=90°/360°×πr²=1/4×π×3²=9π/4 cm²。
△BOD面积：S△BOD=1/2×OB×OD×sin90°=1/2×3×3×1=9/2 cm²。
阴影部分面积=S扇形BOD - S△BOD=9π/4 - 9/2。
(1) 45°
(2) (9π/4 - 9/2) cm²
(1)
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°。
在Rt△ABC中，BC=6cm，AC=3cm，
∴sin∠ABC=AC/BC=3/6=1/2，
∴∠ABC=30°，∠ACB=60°。
∵AD平分∠CAB，∠CAB=90°，
∴∠CAD=∠DAB=45°。
∵∠CAD与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴∠CBD=∠CAD=45°。
(2)
∵BC=6cm，
∴⊙O半径r=3cm。
由
(1)知∠CBD=45°，
∴弧BD所对圆心角∠BOD=2∠CBD=90°。
扇形BOD面积：S扇形=90°/360°×πr²=1/4×π×3²=9π/4 cm²。
△BOD面积：S△BOD=1/2×OB×OD×sin90°=1/2×3×3×1=9/2 cm²。
阴影部分面积=S扇形BOD - S△BOD=9π/4 - 9/2。
(1) 45°
(2) (9π/4 - 9/2) cm²
23. (11 分)(2023·安徽)已知四边形$ABCD内接于\odot O$,对角线$BD是\odot O$的直径。
(1)如图①,连接$OA$,$CA$,若$OA\perp BD$,求证：$CA平分\angle BCD$；
(2)如图②,$E为\odot O$内一点,满足$AE\perp BC$,$CE\perp AB$,若$BD = 3\sqrt{3}$,$AE = 3$,求弦$BC$的长。
(1)如图①,连接$OA$,$CA$,若$OA\perp BD$,求证：$CA平分\angle BCD$；
(2)如图②,$E为\odot O$内一点,满足$AE\perp BC$,$CE\perp AB$,若$BD = 3\sqrt{3}$,$AE = 3$,求弦$BC$的长。
答案：
(1) 证明见解析；
(2) 3
(1) 证明见解析；
(2) 3
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