《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

18. (9 分)(2023·周口模拟)如图,$AB是半圆O$的直径,$C$是半圆上一点(不与点$A$,$B$重合),连接$AC$,$BC$。$P为线段AB$延长线上一点,连接$PC$,$\angle CAB = \angle BCP$。
(1)求证：$PC为\odot O$的切线。
(2)作$\angle CPB$的平分线,交$AC于点M$,交$BC于点N$。
①请用无刻度的直尺和圆规完成作图(保留作图痕迹,不写作法)；
②若$CN = 3$,求$MN$的长。

答案：
(1) 证明：
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°。
∵∠CAB=∠BCP，
∴∠BCP+∠CBA=90°。
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠CBA，
∴∠BCP+∠OCB=90°，即∠OCP=90°。
∴OC⊥PC，故PC为⊙O的切线。
(2) ① 作图痕迹如图所示（作∠CPB的平分线，交AC于M，交BC于N）。
② 3√2

19. (9 分)(2023·武汉)如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$D为AC$边上一点,$\odot I为\triangle ABD$的内切圆,$G$,$E$,$F$为切点。
(1)求证：$BE = CF$；
(2)若$BD = 10$,$CD = 4$,求$BE$的长。

答案：
(1)见证明过程；
(2)$7$。