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19. (8分)在等腰三角形$ABC$中,三边长分别为$a$,$b$,$c$,其中$a = 5$. 若关于$x的方程x^{2}+(b + 2)x + 6 - b = 0$有两个相等的实数根,求$\triangle ABC$的周长.
答案：
由题意知方程 $x^{2} + (b + 2)x + 6 - b = 0$ 有两个相等的实数根，所以判别式 $\Delta = 0$。
计算判别式：
$\Delta = (b + 2)^{2} - 4 × 1 × (6 - b) = 0$，
$\Rightarrow (b + 2)^{2} - 4(6 - b) = 0$，
$\Rightarrow b^{2} + 4b + 4 - 24 + 4b = 0$，
$\Rightarrow b^{2} + 8b - 20 = 0$，
通过求解上述方程，得到：
$b_{1} = -10, \quad b_{2} = 2$，
由于 $b$ 是三角形的边长，所以 $b ＞ 0$，因此 $b = 2$。
在等腰三角形 $ABC$ 中，已知 $a = 5$，$b = 2$，需要分两种情况考虑：
当 $a$ 为腰长时，三角形的三边长为 $5$，$5$，$2$。
根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，所以 $5 + 5 ＞ 2$，$5 + 2 ＞ 5$，$5 + 2 ＞ 5$，满足条件。
因此，周长为 $5 + 5 + 2 = 12$。
当 $b$ 为腰长时，三角形的三边长为 $5$，$2$，$2$。
但 $2 + 2 ＜ 5$，不满足三角形的三边关系，所以这种情况应舍去。
综上，等腰三角形 $ABC$ 的周长为 $12$。
计算判别式：
$\Delta = (b + 2)^{2} - 4 × 1 × (6 - b) = 0$，
$\Rightarrow (b + 2)^{2} - 4(6 - b) = 0$，
$\Rightarrow b^{2} + 4b + 4 - 24 + 4b = 0$，
$\Rightarrow b^{2} + 8b - 20 = 0$，
通过求解上述方程，得到：
$b_{1} = -10, \quad b_{2} = 2$，
由于 $b$ 是三角形的边长，所以 $b ＞ 0$，因此 $b = 2$。
在等腰三角形 $ABC$ 中，已知 $a = 5$，$b = 2$，需要分两种情况考虑：
当 $a$ 为腰长时，三角形的三边长为 $5$，$5$，$2$。
根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，所以 $5 + 5 ＞ 2$，$5 + 2 ＞ 5$，$5 + 2 ＞ 5$，满足条件。
因此，周长为 $5 + 5 + 2 = 12$。
当 $b$ 为腰长时，三角形的三边长为 $5$，$2$，$2$。
但 $2 + 2 ＜ 5$，不满足三角形的三边关系，所以这种情况应舍去。
综上，等腰三角形 $ABC$ 的周长为 $12$。
20. (8分)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC = 90^{\circ}$,$AB = 4$cm,$BC = 3$cm,动点$P$,$Q分别从点A$,$B$同时开始移动(移动方向如图所示),点$P的速度为\frac{1}{2}$cm/s,点$Q的速度为1$cm/s,点$Q移动到点C$后停止,点$P$也随之停止运动. 当点$P$运动的时间为多少时,能使$\triangle PBQ的面积为\frac{15}{4}$cm^2？
答案：
$ t = 3 $秒。
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