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7. 已知 a，b 分别是 Rt△ABC 两边的长，且满足$\sqrt{a^{2}-9}+(b - 4)^{2}=0$，则第三边长是(
A.5 或$\sqrt{7}$
B.5
C.$\sqrt{7}$
D.5 或$\sqrt{65}$
A
)A.5 或$\sqrt{7}$
B.5
C.$\sqrt{7}$
D.5 或$\sqrt{65}$
答案：
7.A
8. 把两个同样大小含 45°的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点 A，且另外三个锐角顶点 B，C，D 在同一直线上。若 AB = 2，则 CD =
]
$\sqrt{6} - \sqrt{2}$
。]
答案：
8.$\sqrt{6} - \sqrt{2}$
9. 如图，一张直角三角形纸片 ABC，两直角边 AC = 6 cm，BC = 8 cm。现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且 AC 与 AE 重合，求 CD 的长。
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答案：
9.解：在 Rt△ABC 中，AC = 6 cm，BC = 8 cm，
∴AB = $\sqrt{AC^{2} + BC^{2}}$ = $\sqrt{6^{2} + 8^{2}}$ = 10 cm.
∵△AED 是△ACD 翻折而成，
∴AE = AC = 6 cm.
设 DE = CD = x cm，∠AED = 90°，
∴BE = AB - AE = 10 - 6 = 4 cm，
在 Rt△BDE 中，$BD^{2} = DE^{2} + BE^{2}$，
即$(8 - x)^{2} = 4^{2} + x^{2}$，
解得 x = 3.
∴CD 的长为 3 cm.
∴AB = $\sqrt{AC^{2} + BC^{2}}$ = $\sqrt{6^{2} + 8^{2}}$ = 10 cm.
∵△AED 是△ACD 翻折而成，
∴AE = AC = 6 cm.
设 DE = CD = x cm，∠AED = 90°，
∴BE = AB - AE = 10 - 6 = 4 cm，
在 Rt△BDE 中，$BD^{2} = DE^{2} + BE^{2}$，
即$(8 - x)^{2} = 4^{2} + x^{2}$，
解得 x = 3.
∴CD 的长为 3 cm.
10. 如图，在等腰直角△ABC 中，∠ABC = 90°，点 P 在 AC 上，将△ABP 绕顶点 B 顺时针旋转 90°后得到△CBQ。
(1) 求∠PCQ 的度数。
(2) 当 AB = $2\sqrt{2}$，AP : PC = 1 : 3 时，求 PQ 的长。
(3) 当点 P 在线段 AC 上运动时（点 P 不与点 A 重合），请直接写出 $PA^{2}$，$PC^{2}$，$PB^{2}$之间的数量关系。
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(1) 求∠PCQ 的度数。
(2) 当 AB = $2\sqrt{2}$，AP : PC = 1 : 3 时，求 PQ 的长。
(3) 当点 P 在线段 AC 上运动时（点 P 不与点 A 重合），请直接写出 $PA^{2}$，$PC^{2}$，$PB^{2}$之间的数量关系。
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答案：
10.解：
(1)易得△ABP ≌ △CBQ，
∴∠A = ∠ACB = ∠BCQ = 45°，
∴∠PCQ = ∠ACB + ∠BCQ = 90°；
(2)
∵△ABP ≌ △CBQ，
∴AP = CQ.
∵AB = BC，∠ABC = 90°，
∴$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} = 2AB^{2} = 16$，
∴AC = 4.
∵AP : PC = 1 : 3，
∴AP = 1，PC = 3，
∴CQ = AP = 1，
∴在 Rt△PCQ 中，
PQ = $\sqrt{PC^{2} + CQ^{2}}$ = $\sqrt{10}$；
(3)$2PB^{2} = PA^{2} + PC^{2}$.
(1)易得△ABP ≌ △CBQ，
∴∠A = ∠ACB = ∠BCQ = 45°，
∴∠PCQ = ∠ACB + ∠BCQ = 90°；
(2)
∵△ABP ≌ △CBQ，
∴AP = CQ.
∵AB = BC，∠ABC = 90°，
∴$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} = 2AB^{2} = 16$，
∴AC = 4.
∵AP : PC = 1 : 3，
∴AP = 1，PC = 3，
∴CQ = AP = 1，
∴在 Rt△PCQ 中，
PQ = $\sqrt{PC^{2} + CQ^{2}}$ = $\sqrt{10}$；
(3)$2PB^{2} = PA^{2} + PC^{2}$.
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