《2025年名师面对面学科素养评价八年级数学上册浙教版》

6. 如图，$\triangle ABC$中，$EF$垂直平分$AC$，交$AC$于点$F$，交$BC$于点$E$，$AD \perp BC$，垂足为$D$，且$BD = DE$，连结$AE$。
（1）求证：$AB = EC$。
（2）若$\triangle ABC$的周长为$19\ cm$，$AC = 8\ cm$，则$DC$的长为多少？
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答案： 6.
(1)证明:
∵EF垂直平分AC，
∴AE=EC.
∵AD⊥BC,BD=DE,
∴AB=AE,
∴AB=EC.
(2)解:
∵△ABC的周长为19cm，
∴AB+BC+AC=19cm.
∵AC=8cm,
∴AB+BC=11cm.
∵AB=EC,BD=DE,
∴AB+BD=DE+EC=DC,
∵AB+BC=AB+BD+DC=2DC=11cm,
∴DC=$\frac{11}{2}$cm,即DC的长为$\frac{11}{2}$cm.

7. 如图，$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 80^{\circ}$，$MP$和$NQ$分别垂直平分$AB$和$AC$。
（1）求$\angle PAQ$的度数。
（2）$\triangle APQ$周长为$12$，$BC$长为$8$，求$PQ$的长。
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答案： 7.解:
(1)设∠PAQ=x,∠CAP=y,∠BAQ=z，
　易证△AMP≌△BMP,△ANQ≌△CNQ,
∴∠B=∠BAP=x+z,∠C=∠CAQ=x+y.
∵∠BAC=80°，
∴∠B+∠C=100°,
　即x+y+z=80°,x+z+x+y=100°,
∴x=20°,
∴∠PAQ=20°.
(2)
∵△APQ周长为12,
∴AQ+PQ+AP=12.
∵AQ=CQ,AP=PB,
∴CQ+PQ+PB=12,
　即CQ+BQ+2PQ=12,BC+2PQ=12,
∵BC=8,
∴PQ=2.

8. 【推理能力】【问题发现】我们知道“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，那么不在线段垂直平分线上的点到线段两端的距离大小如何判断呢？
【自主研究】
（1）如图 1，直线$l$是线段$AB$的垂直平分线，点$P$在直线$l$的左侧，经测量，$PA ＜ PB$，请证明这个结论。
【迁移研究】
（2）如图 2，直线$l$是线段$AB$的垂直平分线，点$C$在直线$l$外，且与点$A$在直线$l$的同侧，点$D$是直线$l$上的任意一点，连结$AD$，$BC$，$CD$，试判断$BC$和$AD + CD$之间的大小关系，并说明理由。
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答案：
8.
(1)证明:如图1,连结PA,PB,AM，
∵直线l是线段AB的垂直平分线，
∴AM=BM,
∴PB=PM+MB=PM+AM.
∵PM+AM＞PA,
∴PA＜PB.
　　　　 　　　
(2)解:如图2,AD+CD≥BC,理由如下:
当点D不在线段BC上时，连结BD，
∵直线l是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD.
∵BD+CD＞BC,
∴AD+CD＞BC;
当点D在线段BC上时,AD+CD=BC.
∴AD+CD≥BC.