《2025年名师面对面学科素养评价八年级数学上册浙教版》

7. 如图，$\triangle ABC$中，$AB = AC = 15$，$AD$平分$\angle BAC$，点$E$为$AC$的中点，连结$DE$。若$\triangle CDE$的周长为$24$，则$BC$的长为(A)

A.$18$
B.$14$
C.$12$
D.$6$

答案： 7.A

8. 如图，在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，将$BC$沿斜边上的中线$CD$折叠到$CB'$。若$\angle B = 50^{\circ}$，则$\angle ACB' =$10°。

答案： 8.10°

9. 已知：如图，$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$M$是边$AB$的中点，$CH \perp AB$于$H$，$CD$平分$\angle ACB$。
(1) 求证：$\angle DCH = \angle DCM$。
(2) 过点$M$作$AB$的垂线交$CD$延长线于点$E$，求证：$CM = EM$。

答案： 9.
(1)证明：
∵CH⊥AB，
∴∠BCH + ∠B = 90°.
∵∠A + ∠B = 90°，
∴∠A = ∠BCH.
∵CM是直角三角形斜边中线，
∴CM = AM，
∠A = ∠ACM,
∴∠ACM = ∠BCH.
∵CD平分∠ACB,
∴∠DCH = ∠MCD;
(2)证明：
∵ME⊥AB,CH⊥AB，
∴ME//CH,
∴∠MEC = ∠HCD.
∵∠DCH = ∠MCD,
∴∠MCD = ∠MEC，
∴CM = EM.

10. 如图，在$\triangle ABC$中，$AC = BC$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$D$为$AB$的中点。若$E$是$AC$上任意一点，$DF \perp DE$，交$BC$于点$F$。$G$为$EF$的中点，延长$CG$交$AB$于点$H$。
(1) 试说明：$DE = DF$。
(2) 试说明：$CG = GH$。

答案： 10.解：
(1)连结CD,
∵∠ACB = 90°,
D为AB的中点,AC = BC，
∴CD = AD = BD.
又
∵AC = BC,
∴CD⊥AB，
∴∠EDA + ∠EDC = 90°,
∠DCF = ∠DAE = 45°.
∵DF⊥DE，
∴∠EDF = ∠EDC + ∠CDF = 90°,
∴∠ADE = ∠CDF.
在△ADE和△CDF中，
$\begin{cases} ∠A = ∠DCF,\\ AD = CD,\\ ∠ADE = ∠CDF, \end{cases} $
∴△ADE≌△CDF(ASA),
∴DE = DF;
(2)连结DG，
∵∠ACB = 90°,G为EF的中点，
∴CG = EG = FG.
∵∠EDF = 90°,G为EF的中点，
∴DG = EG = FG,
∴CG = DG，
∴∠GCD = ∠CDG.
又
∵CD⊥AB,∠CDH = 90°，
∴∠GHD + ∠GCD = 90°,
∠HDG + ∠GDC = 90°，
∴∠GHD = ∠HDG,
∴GH = GD，
∴CG = GH.