《2025年伴你学山西九年级数学上册北师大版》

13.(本题 10 分)如图,菱形 $ABCD$ 的周长为 $40 cm$,它的一条对角线 $BD$ 长 $10 cm$,求：
(1)菱形的另一条对角线 $AC$ 的长；
(2)菱形 $ABCD$ 的面积.

答案： 解:
(1)
∵菱形ABCD的周长为40 cm,BD=10 cm,
∴AD=10 cm,OD=5 cm.
∴AO=√(AD²-OD²)=√(10²-5²)=5√3(cm),
∴AC=2AO=2×5√3=10√3(cm),
∴菱形的另一条对角线AC的长为10√3 cm.
(2)菱形ABCD的面积为(1/2)×10√3×10=50√3(cm²).

14.(本题 15 分)如图,在正方形 $ABCD$ 中,$E$,$F$ 是 $BD$ 上的两点,且 $BE = DF$.
(1)求证：四边形 $AECF$ 是菱形；
(2)若 $EF = 4$,$DE = BF = 2$,求四边形 $AECF$ 的周长.

答案：
(1)证明:连接AC交BD于点O.
∵四边形ABCD是正方形,
∴OD=OB,OA=OC,BD⊥AC.
∵BE=DF,
∴DE=BF,
∴OE=OF.
∵OA=OC,
∴四边形AECF是平行四边形.又
∵EF⊥AC,
∴四边形AECF是菱形.
(2)解:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,AC=BD,OA=OB=OC=OD.
∵EF=4,DE=BF=2,
∴AC=BD=8,OA=OD=4,
∴OE=2.在Rt△AOE中,AE=√(OA²+OE²)=2√5,
∴四边形AECF的周长是8√5.