《2025年伴你学山西九年级数学上册北师大版》

22. (本题6分)阅读与思考：下面是一篇数学小论文中的一部分,请认真阅读并完成相应的任务.
| 一元二次方程的新解法 | |
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| 对于任意的一元二次方程,都可以用配方法将原方程转化为$(x + p)^2 = q$(p,q为常数)的形式,当$q \geq 0$时,两边开平方即可求出原方程的解. | |
| 下面我们讨论一种新解法——消去未知数的一次项,将原方程转化为可以开平方的形式. | |
| 【特例分析】以一元二次方程$x^2 + 4x - 7 = 0$为例, | |
| 设$x = y + m$(m为常数), | |
| 则原方程化为$(y + m)^2 + 4(y + m) - 7 = 0$, | ① |
| 整理,得$y^2 + 2my + m^2 + 4y + 4m - 7 = 0$. | ② |
| 即$y^2 + (2m + 4)y + m^2 + 4m - 7 = 0$. | ③ |
| 为使方程③不含y的一次项,令$2m + 4 = 0$, | |
| 此时$m = -2$,则$m^2 + 4m - 7 = (-2)^2 + 4×(-2) - 7 = -11$, | |
| 所以,方程③化为$y^2 - 11 = 0$, | |
| 解得$y_1 = \sqrt{11}$,$y_2 = -\sqrt{11}$, | |
| 所以,$x_1 = y_1 + m = $_________$$,$x_2 = y_2 + m = $_________$$. | |
| 【类比推广】按这种思路,可以求解任意一元二次方程,还能推导出求根公式. | |
任务：
(1)直接写出材料中“特例分析”部分方程的解$x_1 = $$\sqrt{11}-2$,$x_2 = $_________$$$-\sqrt{11}-2$；
(2)按照材料中“特例分析”的方法,求解一元二次方程$2x^2 - 8x + 1 = 0$.

答案：
(1)$\sqrt{11}-2$ $-\sqrt{11}-2$.
(2)设$x=y+m$($m$为常数),
则原方程化为$2(y+m)^{2}-8(y+m)+1=0$,①
整理,得$2y^{2}+4my+2m^{2}-8y-8m+1=0$,②
即$2y^{2}+(4m-8)y+2m^{2}-8m+1=0$,③
为使方程③不含$y$的一次项,令$4m-8=0$,
此时$m=2$,则$2m^{2}-8m+1=2×2^{2}-8×2+1=-7$,
所以,方程③化为$2y^{2}-7=0$,
解得$y_{1}=\frac{\sqrt{14}}{2},y_{2}=-\frac{\sqrt{14}}{2}$,
所以,$x_{1}=y_{1}+m=2+\frac{\sqrt{14}}{2},x_{2}=y_{2}+m=2-\frac{\sqrt{14}}{2}$.