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16. (本题10分)如图,在矩形$ABCD$中,$AB = 12$ cm,$BC = 6$ cm,点$P沿AB边从点A开始向点B$以2 cm/s的速度移动,点$Q沿DA边从点D开始向点A$以1 cm/s的速度移动. 如果$P$,$Q$同时出发,用$t$(s)表示移动的时间$(0\leq t\leq 6)$.
(1)当$t$为何值时,$\triangle QAP$为等腰直角三角形；
(2)提出一个与四边形$QAPC$面积有关的结论,并说明理由；
(3)当$t$为何值时,以点$Q$,$A$,$P为顶点的三角形与\triangle ABC$相似.
(1)当$t$为何值时,$\triangle QAP$为等腰直角三角形；
(2)提出一个与四边形$QAPC$面积有关的结论,并说明理由；
(3)当$t$为何值时,以点$Q$,$A$,$P为顶点的三角形与\triangle ABC$相似.
答案：
解:
(1)由已知得$AP=2t,DQ=t,QA=6-t$.
当$QA=AP$时,$\triangle QAP$是等腰直角三角形,
所以$6-t=2t$,解得$t=2$.
(2)四边形 QAPC 的面积始终保持不变.理由如下:
因为四边形 QAPC 的面积为
$S_{\triangle QAC}+S_{\triangle APC}=\frac{1}{2}AQ\cdot CD+\frac{1}{2}AP\cdot BC=\frac{1}{2}×12×(6-t)+\frac{1}{2}×2t×6=(36-6t)+6t=36(cm^2)$.
所以,在 P,Q 两点移动的过程中,四边形 QAPC 的面积始终保持不变.
(3)分两种情况:
①当$\frac{AQ}{BA}=\frac{AP}{BC}$时,$\triangle QAP\backsim\triangle ABC$,
所以$\frac{6-t}{12}=\frac{2t}{6}$,解得$t=1.2$;
②当$\frac{QA}{CB}=\frac{AP}{BA}$时,$\triangle PAQ\backsim\triangle ABC$,
所以$\frac{6-t}{6}=\frac{2t}{12}$,解得$t=3$.
所以,当$t=1.2$或$t=3$时,以点 Q,A,P 为顶点的三角形与$\triangle ABC$相似.
(1)由已知得$AP=2t,DQ=t,QA=6-t$.
当$QA=AP$时,$\triangle QAP$是等腰直角三角形,
所以$6-t=2t$,解得$t=2$.
(2)四边形 QAPC 的面积始终保持不变.理由如下:
因为四边形 QAPC 的面积为
$S_{\triangle QAC}+S_{\triangle APC}=\frac{1}{2}AQ\cdot CD+\frac{1}{2}AP\cdot BC=\frac{1}{2}×12×(6-t)+\frac{1}{2}×2t×6=(36-6t)+6t=36(cm^2)$.
所以,在 P,Q 两点移动的过程中,四边形 QAPC 的面积始终保持不变.
(3)分两种情况:
①当$\frac{AQ}{BA}=\frac{AP}{BC}$时,$\triangle QAP\backsim\triangle ABC$,
所以$\frac{6-t}{12}=\frac{2t}{6}$,解得$t=1.2$;
②当$\frac{QA}{CB}=\frac{AP}{BA}$时,$\triangle PAQ\backsim\triangle ABC$,
所以$\frac{6-t}{6}=\frac{2t}{12}$,解得$t=3$.
所以,当$t=1.2$或$t=3$时,以点 Q,A,P 为顶点的三角形与$\triangle ABC$相似.
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