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15. (本题10分)学校计划对校史馆进行修缮,在校史馆阁楼屋顶上开一窗户,设窗户的一边长为$x$ m.
(1)如图,阁楼屋顶是高2 m、底边长5 m的锐角三角形,设窗户的面积为$S$ m^2,求$S与x的函数表达式及x$的取值范围；
(2)要求公共室内场所的窗户面积必须小于地板面积,但窗户面积与地板面积的比不小于$\frac{1}{10}$,若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5 m^2,求$x$为多少时窗户面积最小,最小值是多少平方米.
(1)如图,阁楼屋顶是高2 m、底边长5 m的锐角三角形,设窗户的面积为$S$ m^2,求$S与x的函数表达式及x$的取值范围；
(2)要求公共室内场所的窗户面积必须小于地板面积,但窗户面积与地板面积的比不小于$\frac{1}{10}$,若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5 m^2,求$x$为多少时窗户面积最小,最小值是多少平方米.
答案：
解:
(1)显然$0＜x＜5$.
根据相似三角形知识,屋顶顶端到窗户顶部的距离为$2×\frac{x}{5}=\frac{2x}{5}$.
所以,矩形的宽为$2-\frac{2x}{5}$,面积$S=x(2-\frac{2x}{5})=\frac{2}{5}x(5-x)$.
所以,$S=\frac{2}{5}x(5-x)(0＜x＜5)$.
(2)设地板面积为$S_{1}$,则$\frac{S_{1}}{10}\leqslant S＜S_{1}$,且$S_{1}=16.5 - S=\frac{33}{2}-S$.
所以$\frac{\frac{33}{2}-S}{10}\leqslant S＜\frac{33}{2}-S$,解得$\frac{3}{2}\leqslant S＜\frac{33}{4}$.
方程$\frac{2}{5}x(5-x)=\frac{3}{2}$的解为$x=\frac{5+\sqrt{10}}{2}$或$x=\frac{5-\sqrt{10}}{2}$.
所以,当$x=\frac{5+\sqrt{10}}{2}$或$x=\frac{5-\sqrt{10}}{2}$时,窗户面积最小,最小值是$\frac{3}{2}\ m^2$.
(1)显然$0＜x＜5$.
根据相似三角形知识,屋顶顶端到窗户顶部的距离为$2×\frac{x}{5}=\frac{2x}{5}$.
所以,矩形的宽为$2-\frac{2x}{5}$,面积$S=x(2-\frac{2x}{5})=\frac{2}{5}x(5-x)$.
所以,$S=\frac{2}{5}x(5-x)(0＜x＜5)$.
(2)设地板面积为$S_{1}$,则$\frac{S_{1}}{10}\leqslant S＜S_{1}$,且$S_{1}=16.5 - S=\frac{33}{2}-S$.
所以$\frac{\frac{33}{2}-S}{10}\leqslant S＜\frac{33}{2}-S$,解得$\frac{3}{2}\leqslant S＜\frac{33}{4}$.
方程$\frac{2}{5}x(5-x)=\frac{3}{2}$的解为$x=\frac{5+\sqrt{10}}{2}$或$x=\frac{5-\sqrt{10}}{2}$.
所以,当$x=\frac{5+\sqrt{10}}{2}$或$x=\frac{5-\sqrt{10}}{2}$时,窗户面积最小,最小值是$\frac{3}{2}\ m^2$.
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