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23. (本题10分)综合与探究
【问题情境】数学活动课上,老师提出了一个问题：如图①,在足够长的四边形纸片ABCD中,$AB // DC$,$\angle D = 90^{\circ}$,$\angle C ＜ 90^{\circ}$. 将该纸片沿过点B的直线折叠,使点C落在AB边上的点F处,折痕BE交CD于点E,连接EF.
【独立思考】
(1)判断四边形BCEF的形状,并说明理由.
【深度探究】
(2)已知点O是线段BE上的一点(不与端点重合),“希望”小组将该纸片沿过点O的直线折叠,使点C的对应点H落在线段CD上,点B的对应点G落在线段AB上,折痕交AB于点M,交CD于点N,连接GH. 在此基础上他们提出如下问题,请你解答：
①如图②,若点O是BE的中点,猜想FG与EH的数量关系,并证明你的结论；
②若$GH // BE$,且$\frac{BO}{BE} = \frac{m}{n}$,请直接写出$\frac{FG}{HE}$的值.
【问题情境】数学活动课上,老师提出了一个问题：如图①,在足够长的四边形纸片ABCD中,$AB // DC$,$\angle D = 90^{\circ}$,$\angle C ＜ 90^{\circ}$. 将该纸片沿过点B的直线折叠,使点C落在AB边上的点F处,折痕BE交CD于点E,连接EF.
【独立思考】
(1)判断四边形BCEF的形状,并说明理由.
【深度探究】
(2)已知点O是线段BE上的一点(不与端点重合),“希望”小组将该纸片沿过点O的直线折叠,使点C的对应点H落在线段CD上,点B的对应点G落在线段AB上,折痕交AB于点M,交CD于点N,连接GH. 在此基础上他们提出如下问题,请你解答：
①如图②,若点O是BE的中点,猜想FG与EH的数量关系,并证明你的结论；
②若$GH // BE$,且$\frac{BO}{BE} = \frac{m}{n}$,请直接写出$\frac{FG}{HE}$的值.
答案：
(1)四边形$BCEF$是菱形.理由如下:
∵$AB// DC$,
$\therefore \angle FBE=\angle BEC$.
由折叠可知,$\angle CBE=\angle FBE$,$CB=FB$,
$CE=FE$.
$\therefore \angle CBE=\angle BEC$,
$\therefore CB=CE$.
$\therefore CB=CE=FB=FE$.
$\therefore$四边形$BCEF$是菱形.
(2)①$FG=EH$.证明如下:
由
(1)得,$\angle FBE=\angle BEC$,$BF=CE$.
∵点$O$是$BE$的中点,
$\therefore OB=OE$.
$\because \angle BOM=\angle EON$,
$\therefore \triangle BOM\cong \triangle EON(ASA)$,
$\therefore BM=EN$.
$\therefore BF-BM=CE-EN$,即$FM=CN$.
由折叠可知,$BM=GM,CN=HN$,
$\therefore GM=EN,FM=HN$,
$\because FG=FM-GM,EH=HN-EN$,
$\therefore FG=EH$.
②$\frac{n - m}{n}$.
(1)四边形$BCEF$是菱形.理由如下:
∵$AB// DC$,
$\therefore \angle FBE=\angle BEC$.
由折叠可知,$\angle CBE=\angle FBE$,$CB=FB$,
$CE=FE$.
$\therefore \angle CBE=\angle BEC$,
$\therefore CB=CE$.
$\therefore CB=CE=FB=FE$.
$\therefore$四边形$BCEF$是菱形.
(2)①$FG=EH$.证明如下:
由
(1)得,$\angle FBE=\angle BEC$,$BF=CE$.
∵点$O$是$BE$的中点,
$\therefore OB=OE$.
$\because \angle BOM=\angle EON$,
$\therefore \triangle BOM\cong \triangle EON(ASA)$,
$\therefore BM=EN$.
$\therefore BF-BM=CE-EN$,即$FM=CN$.
由折叠可知,$BM=GM,CN=HN$,
$\therefore GM=EN,FM=HN$,
$\because FG=FM-GM,EH=HN-EN$,
$\therefore FG=EH$.
②$\frac{n - m}{n}$.
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