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21. (8分)如图,A是$\odot O$上一点,半径OC的延长线与过点A的直线交于B点,$OC= BC$,$AC= \frac{1}{2}OB$.
(1)求证：AB是$\odot O$的切线.
(2)若$\angle ACD= 45^\circ$,$OC= 2$,求弦AD的长.
(1)求证：AB是$\odot O$的切线.
(2)若$\angle ACD= 45^\circ$,$OC= 2$,求弦AD的长.
答案：
解:
(1)证明:如图,连结OA.
∵AC=$\frac{1}{2}$OB,OC=CB,
∴AC=OC=CB,
∴∠OAB=90°,
∴AB是⊙O的切线.
(2)如图,连结OD.
∵∠DOA=2∠DCA,∠DCA=45°,
∴∠DOA=90°.
∵OD=OA=OC=2,
∴AD=$\sqrt{OD²+OA²}$=$\sqrt{2²+2²}$=2$\sqrt{2}$.
解:
(1)证明:如图,连结OA.
∵AC=$\frac{1}{2}$OB,OC=CB,
∴AC=OC=CB,
∴∠OAB=90°,
∴AB是⊙O的切线.
(2)如图,连结OD.
∵∠DOA=2∠DCA,∠DCA=45°,
∴∠DOA=90°.
∵OD=OA=OC=2,
∴AD=$\sqrt{OD²+OA²}$=$\sqrt{2²+2²}$=2$\sqrt{2}$.
22. (10分)如图,已知AC为$\odot O$的直径,直线PA与$\odot O$相切于点A,直线PD经过$\odot O$上的点B且$\angle CBD= \angle CAB$,连结OP交AB于点M. 求证：
(1)PD是$\odot O$的切线.
(2)$AM^2= OM\cdot PM$.
(1)PD是$\odot O$的切线.
(2)$AM^2= OM\cdot PM$.
答案：
证明:
(1)如图,连结OB.
∵OA=OB=OC,
∴∠OAB=∠OBA, ∠OBC=∠OCB.
∵AC为⊙O的直径,
∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=90°.
∵∠CBD=∠CAB,
∴∠OBA=∠CBD,
∴∠CBD+∠OBC=90°=∠OBD,
∴PD是⊙O的切线.
(2)
∵直线PA与⊙O相切于点A,
∴∠OAP=90°.
∵PD是⊙O的切线,
∴∠AMO=∠AMP=∠OAP=90°,
∴∠OAM+∠PAM=∠PAM+∠APM=90°,
∴∠OAM=∠APM,
∴△OAM∽△APM,
∴$\frac{AM}{PM}$=$\frac{OM}{AM}$,
∴$AM²$=OM·PM.
证明:
(1)如图,连结OB.
∵OA=OB=OC,
∴∠OAB=∠OBA, ∠OBC=∠OCB.
∵AC为⊙O的直径,
∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=90°.
∵∠CBD=∠CAB,
∴∠OBA=∠CBD,
∴∠CBD+∠OBC=90°=∠OBD,
∴PD是⊙O的切线.
(2)
∵直线PA与⊙O相切于点A,
∴∠OAP=90°.
∵PD是⊙O的切线,
∴∠AMO=∠AMP=∠OAP=90°,
∴∠OAM+∠PAM=∠PAM+∠APM=90°,
∴∠OAM=∠APM,
∴△OAM∽△APM,
∴$\frac{AM}{PM}$=$\frac{OM}{AM}$,
∴$AM²$=OM·PM.
23. (10分)如图,在Rt$\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^\circ$,以BC为直径作$\odot O$,交AB边于点D,在弧CD上取一点E,使$\widehat{BE}= \widehat{CD}$,连结DE,作射线CE交AB边于点F.
(1)求证：$\angle A= \angle ACF$.
(2)若$AC= 8$,$\cos\angle ACF= \frac{4}{5}$,求BF及DE的长.
(1)求证：$\angle A= \angle ACF$.
(2)若$AC= 8$,$\cos\angle ACF= \frac{4}{5}$,求BF及DE的长.
答案：
解:
(1)证明:
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°.
∵$\overset{\frown}{BE}$=$\overset{\frown}{CD}$,
∴∠B=∠BCF,
∴∠A=∠ACF.
(2)由
(1)知∠B=∠BCF,∠A=∠ACF,
∴BF=CF,AF=CF,
∴AF=BF=$\frac{1}{2}$AB.
∵cos∠ACF=cos A=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{4}{5}$,AC=8,
∴AB=10,
∴BF=5.
∵BC=$\sqrt{AB²-AC²}$=6,
∴sin A=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{5}$. 如图,连结CD,BE.
∵BC是⊙O的直径,
∴∠BDC=90°,
∴∠ABC+∠BCD=90°,
∴∠A=∠BCD,
∴sin∠BCD=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{3}{5}$,
∴BD=$\frac{18}{5}$,
∴DF=BF-BD=$\frac{7}{5}$.
∵∠ABC=∠BCE,
∴CF=BF.
∵$\overset{\frown}{BE}$=$\overset{\frown}{CD}$,
∴$\overset{\frown}{CE}$=$\overset{\frown}{BD}$,
∴CE=BD,
∴EF=DF, 故$\frac{EF}{CF}$=$\frac{DF}{BF}$. 又∠DFE=∠BFC,
∴△FDE∽△FBC,
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{DF}{BF}$,
∴DE=$\frac{42}{25}$.
解:
(1)证明:
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°.
∵$\overset{\frown}{BE}$=$\overset{\frown}{CD}$,
∴∠B=∠BCF,
∴∠A=∠ACF.
(2)由
(1)知∠B=∠BCF,∠A=∠ACF,
∴BF=CF,AF=CF,
∴AF=BF=$\frac{1}{2}$AB.
∵cos∠ACF=cos A=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{4}{5}$,AC=8,
∴AB=10,
∴BF=5.
∵BC=$\sqrt{AB²-AC²}$=6,
∴sin A=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{5}$. 如图,连结CD,BE.
∵BC是⊙O的直径,
∴∠BDC=90°,
∴∠ABC+∠BCD=90°,
∴∠A=∠BCD,
∴sin∠BCD=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{3}{5}$,
∴BD=$\frac{18}{5}$,
∴DF=BF-BD=$\frac{7}{5}$.
∵∠ABC=∠BCE,
∴CF=BF.
∵$\overset{\frown}{BE}$=$\overset{\frown}{CD}$,
∴$\overset{\frown}{CE}$=$\overset{\frown}{BD}$,
∴CE=BD,
∴EF=DF, 故$\frac{EF}{CF}$=$\frac{DF}{BF}$. 又∠DFE=∠BFC,
∴△FDE∽△FBC,
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{DF}{BF}$,
∴DE=$\frac{42}{25}$.
24. (12分)已知$\angle MPN的两边分别与\odot O$相切于点A,B,$\odot O$的半径为r.
(1)如图1,点C在点A,B之间的优弧上,$\angle MPN= 80^\circ$,求$\angle ACB$的度数.
(2)如图2,点C在圆上运动,当PC最大时,要使四边形APBC为菱形,$\angle APB$的度数应为多少？请说明理由.
(3)若PC交$\odot O$于点D,求第(2)问中对应的阴影部分的周长.(用含r的式子表示)
(1)如图1,点C在点A,B之间的优弧上,$\angle MPN= 80^\circ$,求$\angle ACB$的度数.
(2)如图2,点C在圆上运动,当PC最大时,要使四边形APBC为菱形,$\angle APB$的度数应为多少？请说明理由.
(3)若PC交$\odot O$于点D,求第(2)问中对应的阴影部分的周长.(用含r的式子表示)
答案：
解:
(1)如图1,连结OA,OB.
∵PA,PB为⊙O的切线,
∴∠PAO=∠PBO=90°.
∵∠APB+∠PAO+∠PBO+∠AOB=360°,
∴∠APB+∠AOB=180°.
∵∠APB=80°,
∴∠AOB=100°,
∴∠ACB=50°.
(2)当∠APB=60°时,四边形APBC是菱形.理由如下: 连结OA,OB,如图2, 易知PC最大时,PC经过圆心.
∵PA,PB为⊙O的切线,
∴∠PAO=∠PBO=90°. 又
∵OA=OB,PO=PO, Rt△AOP≌Rt△BOP,
∴∠APO=∠BPO. 若四边形APBC为菱形, 则AP=AC=BC=PB,
∴∠APO=∠ACO. 又
∵AO=OC,
∴∠OAC=∠ACO,
∴∠AOP=2∠ACO=2∠APO.
∵∠AOP+∠APO=90°,
∴∠APO=30°,
∴∠APB=60°.
(3)
∵⊙O的半径为r,
∴OA=r,OP=2r,
∴AP=$\sqrt{3}$r,PD=r.
∵∠AOP=90°-∠APO=60°,
∴$\overset{\frown}{AD}$的长度=$\frac{60πr}{180}$=$\frac{π}{3}$r,
∴阴影部分的周长=PA+PD+$\overset{\frown}{AD}$=$\sqrt{3}$r+r+$\frac{π}{3}$r=($\sqrt{3}$+1+$\frac{π}{3}$)r.
解:
(1)如图1,连结OA,OB.
∵PA,PB为⊙O的切线,
∴∠PAO=∠PBO=90°.
∵∠APB+∠PAO+∠PBO+∠AOB=360°,
∴∠APB+∠AOB=180°.
∵∠APB=80°,
∴∠AOB=100°,
∴∠ACB=50°.
(2)当∠APB=60°时,四边形APBC是菱形.理由如下: 连结OA,OB,如图2, 易知PC最大时,PC经过圆心.
∵PA,PB为⊙O的切线,
∴∠PAO=∠PBO=90°. 又
∵OA=OB,PO=PO, Rt△AOP≌Rt△BOP,
∴∠APO=∠BPO. 若四边形APBC为菱形, 则AP=AC=BC=PB,
∴∠APO=∠ACO. 又
∵AO=OC,
∴∠OAC=∠ACO,
∴∠AOP=2∠ACO=2∠APO.
∵∠AOP+∠APO=90°,
∴∠APO=30°,
∴∠APB=60°.
(3)
∵⊙O的半径为r,
∴OA=r,OP=2r,
∴AP=$\sqrt{3}$r,PD=r.
∵∠AOP=90°-∠APO=60°,
∴$\overset{\frown}{AD}$的长度=$\frac{60πr}{180}$=$\frac{π}{3}$r,
∴阴影部分的周长=PA+PD+$\overset{\frown}{AD}$=$\sqrt{3}$r+r+$\frac{π}{3}$r=($\sqrt{3}$+1+$\frac{π}{3}$)r.
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