《2025年精彩练习就练这一本九年级数学全一册浙教版评议教辅》

18. (8分)已知二次函数$y= -2x^2+4x+6.$
(1)求出该函数图象的顶点坐标及图象与x轴的交点坐标.
(2)当x在什么范围内时,y随x的增大而增大？

答案： 解:
(1)$\because y=-2x^{2}+4x + 6=-2(x - 1)^{2}+8$,
$\therefore$函数图象的对称轴是直线$x = 1$,顶点坐标是$(1,8)$.
令$y = 0$,则$-2x^{2}+4x + 6 = 0$,解得$x_{1}=-1$,$x_{2}=3$.
$\therefore$函数图象与$x$轴的交点坐标是$(-1,0)$,(3,0).
(2)$\because$抛物线的对称轴为直线$x = 1$,图象开口向下,
$\therefore$当$x\leqslant1$时,$y$随$x$的增大而增大.

19. (8分)某桥洞是抛物线形,它的截面如下图所示,现测得水面宽AB= 1.6米,桥洞顶点O到水面的距离为2.4米,以点O为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图.
(1)试写出桥洞所在抛物线的表达式.
(2)当水面上涨1.4米时,求水面的宽.

答案： 解:
(1)设此抛物线所对应的函数表达式是$y = ax^{2}(a\neq0)$,
$\because$水面宽$AB$为1.6米,桥洞顶点$O$到水面的距离为2.4米,
$\therefore$点$B$的坐标为$(0.8,-2.4)$,
$\therefore-2.4=a×0.8^{2}$,即$a=-\frac{15}{4}$,
$\therefore$抛物线的函数表达式是$y=-\frac{15}{4}x^{2}$.
(2)当水面上涨1.4米时,桥洞顶点$O$到水面的距离为$2.4-1.4 = 1$(米),把$y=-1$代入函数表达式,得$-1=-\frac{15}{4}x^{2}$,解得$x=\pm\frac{2\sqrt{15}}{15}$.
$\therefore$水面的宽为$\frac{4\sqrt{15}}{15}$米.

20. (8分)已知抛物线$y= -2x^2+(m-3)x-8.$
(1)若抛物线的对称轴为y轴,求m的值.
(2)若抛物线的顶点在x轴正半轴上,求m的值.

答案： 解:
(1)$\because$抛物线$y=-2x^{2}+(m - 3)x - 8$的对称轴为$y$轴,
$\therefore-\frac{m - 3}{2×(-2)}=0$,解得$m = 3$,即$m$的值是3.
(2)$\because$抛物线$y=-2x^{2}+(m - 3)x - 8$的顶点在$x$轴正半轴上,
$\therefore\begin{cases}-\frac{m - 3}{2×(-2)}＞0,\frac{4×(-2)×(-8)-(m - 3)^{2}}{4×(-2)}=0,\end{cases}$
解得$m = 11$,即$m$的值是11.

21. (8分)已知二次函数的图象如下.
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)观察图象,当-2＜x≤1时,求y的取值范围.
(3)将该二次函数图象向上平移多少个单位后恰好过点(-2,0)？

答案： 解:
(1)设抛物线的表达式为$y=a(x + 1)^{2}-4(a\neq0)$,
把$(1,0)$代入得$4a-4 = 0$,解得$a = 1$,
所以抛物线的表达式为$y=(x + 1)^{2}-4$.
(2)当$x=-2$时,$y=(-2 + 1)^{2}-4=-3$;
当$x = 1$时,$y = 0$.
所以当$-2＜x\leqslant1$时,$y$的取值范围为$-4\leqslant y\leqslant0$.
(3)设将该二次函数图象向上平移$k(k＞0)$个单位后恰好过点$(-2,0)$,则抛物线的表达式可设为$y=(x + 1)^{2}-4 + k$,
把$(-2,0)$代入得$(-2 + 1)^{2}-4 + k = 0$,解得$k = 3$,
即将该二次函数图象向上平移3个单位后恰好过点$(-2,0)$.