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22. (10 分)如图,已知在 $□ ABCD$ 中,$E$ 是边 $AD$ 上一点,连结 $BE$,$CE$,延长 $BA$,$CE$ 相交于点 $F$,$CE^2= DE\cdot BC$. 求证:
(1)$\angle EBC= \angle DCE$.
(2)$BE\cdot CF= BF\cdot AD$.
(1)$\angle EBC= \angle DCE$.
(2)$BE\cdot CF= BF\cdot AD$.
答案：
(1)$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AD// BC$，$\therefore \angle DEC=\angle BCE$。
$\because CE^{2}=DE\cdot BC$，$\therefore \frac{DE}{CE}=\frac{CE}{BC}$，
$\therefore \triangle DEC\backsim \triangle ECB$，
$\therefore \angle EBC=\angle DCE$。
(2)由
(1)知 $\triangle DEC\backsim \triangle ECB$，$\angle DCE=\angle EBC$。
$\because AB// CD$，$\therefore \angle F=\angle DCE$，$\therefore \angle F=\angle EBC$。
又 $\because \angle BCE=\angle FCB$，$\therefore \triangle BCE\backsim \triangle FCB$。
$\therefore \frac{BE}{BF}=\frac{BC}{CF}$，
$\therefore BE\cdot CF=BF\cdot BC$。
$\because BC=AD$，$\therefore BE\cdot CF=BF\cdot AD$。
(1)$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AD// BC$，$\therefore \angle DEC=\angle BCE$。
$\because CE^{2}=DE\cdot BC$，$\therefore \frac{DE}{CE}=\frac{CE}{BC}$，
$\therefore \triangle DEC\backsim \triangle ECB$，
$\therefore \angle EBC=\angle DCE$。
(2)由
(1)知 $\triangle DEC\backsim \triangle ECB$，$\angle DCE=\angle EBC$。
$\because AB// CD$，$\therefore \angle F=\angle DCE$，$\therefore \angle F=\angle EBC$。
又 $\because \angle BCE=\angle FCB$，$\therefore \triangle BCE\backsim \triangle FCB$。
$\therefore \frac{BE}{BF}=\frac{BC}{CF}$，
$\therefore BE\cdot CF=BF\cdot BC$。
$\because BC=AD$，$\therefore BE\cdot CF=BF\cdot AD$。
23. (10 分)在直角坐标系中,$O$ 为坐标原点,二次函数 $y= x^2+bx+c$($b,c$ 是常数)的图象与 $x$ 轴交于 $A,B$ 两点,与 $y$ 轴交于点 $C$,已知 $B(1,0)$.
(1)若 $A(0,0)$,求该二次函数的最小值.
(2)求证:$OA= OC$.
(3)若点 $A$ 位于点 $O,B$ 之间,求证:$-3＜2b+c＜-2$.
(1)若 $A(0,0)$,求该二次函数的最小值.
(2)求证:$OA= OC$.
(3)若点 $A$ 位于点 $O,B$ 之间,求证:$-3＜2b+c＜-2$.
答案：
(1)将 $A(0,0)$，$B(1,0)$ 的坐标代入 $y=x^{2}+bx +c$，得 $c=0$，$b=-1$，
$\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=x^{2}-x$。
$\because y=\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{4}$，
$\therefore$ 该二次函数的最小值为 $-\frac{1}{4}$。
(2)证明:将 $B(1,0)$ 的坐标代入 $y=x^{2}+bx+c$，得 $1+b+c=0$，$\therefore c=-1-b$。
当 $y=0$ 时，$x^{2}+bx-1-b=0$，
解得 $x=1$ 或 $x=-1-b$，
$\therefore A(-1-b,0)$，$\therefore OA=|-1-b|$，
当 $x=0$ 时，$y=-1-b$，
$\therefore C(0,-1-b)$，$\therefore OC=|-1-b|$。
$\therefore OA=OC$。
(3)证明:$\because$ 点 $A$ 位于点 $O$，$B$ 之间，抛物线的对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2}$，$\therefore \frac{1}{2}＜-\frac{b}{2}＜1$，
$\therefore -2＜b＜-1$。
$\because c=-1-b$，$\therefore 2b+c=b-1$。
$\because -3＜b-1＜-2$，$\therefore -3＜2b+c＜-2$。
(1)将 $A(0,0)$，$B(1,0)$ 的坐标代入 $y=x^{2}+bx +c$，得 $c=0$，$b=-1$，
$\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=x^{2}-x$。
$\because y=\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{4}$，
$\therefore$ 该二次函数的最小值为 $-\frac{1}{4}$。
(2)证明:将 $B(1,0)$ 的坐标代入 $y=x^{2}+bx+c$，得 $1+b+c=0$，$\therefore c=-1-b$。
当 $y=0$ 时，$x^{2}+bx-1-b=0$，
解得 $x=1$ 或 $x=-1-b$，
$\therefore A(-1-b,0)$，$\therefore OA=|-1-b|$，
当 $x=0$ 时，$y=-1-b$，
$\therefore C(0,-1-b)$，$\therefore OC=|-1-b|$。
$\therefore OA=OC$。
(3)证明:$\because$ 点 $A$ 位于点 $O$，$B$ 之间，抛物线的对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2}$，$\therefore \frac{1}{2}＜-\frac{b}{2}＜1$，
$\therefore -2＜b＜-1$。
$\because c=-1-b$，$\therefore 2b+c=b-1$。
$\because -3＜b-1＜-2$，$\therefore -3＜2b+c＜-2$。
24. (12 分)如图,锐角三角形 $ABC$ 内接于 $\odot O$,$\angle BAC$ 的平分线 $AG$ 交 $\odot O$ 于点 $G$,交 $BC$ 边于点 $F$,连结 $BG$.
(1)求证:$\triangle ABG\sim\triangle AFC$.
(2)已知 $AB= a$,$AC= AF= b$,求线段 $FG$ 的长.(用含 $a,b$ 的代数式表示)
(3)已知点 $E$ 在线段 $AF$ 上(不与点 $A,F$ 重合),点 $D$ 在线段 $AE$ 上(不与点 $A,E$ 重合),$\angle ABD= \angle CBE$,求证:$BG^2= GE\cdot GD$.
(1)求证:$\triangle ABG\sim\triangle AFC$.
(2)已知 $AB= a$,$AC= AF= b$,求线段 $FG$ 的长.(用含 $a,b$ 的代数式表示)
(3)已知点 $E$ 在线段 $AF$ 上(不与点 $A,F$ 重合),点 $D$ 在线段 $AE$ 上(不与点 $A,E$ 重合),$\angle ABD= \angle CBE$,求证:$BG^2= GE\cdot GD$.
答案：
(1)证明:$\because AG$ 平分 $\angle BAC$，
$\therefore \angle BAG=\angle FAC$。
又 $\because \angle G=\angle C$，$\therefore \triangle ABG\backsim \triangle AFC$。
(2)由
(1)知，$\triangle ABG\backsim \triangle AFC$，$\therefore \frac{AB}{AF}=\frac{AG}{AC}$。
$\because AC=AF=b$，$\therefore AB=AG=a$，
$\therefore FG=AG - AF=a - b$。
(3)证明:$\because \angle CAG=\angle CBG$，$\angle BAG=\angle CAG$，
$\therefore \angle BAG=\angle CBG$。
$\because \angle ABD=\angle CBE$，$\therefore \angle BDG=\angle BAG+\angle ABD=\angle CBG+\angle CBE=\angle EBG$。
又 $\because \angle DGB=\angle BGE$，$\therefore \triangle DGB\backsim \triangle BGE$，
$\therefore \frac{GD}{BG}=\frac{BG}{GE}$，$\therefore BG^{2}=GE\cdot GD$。
(1)证明:$\because AG$ 平分 $\angle BAC$，
$\therefore \angle BAG=\angle FAC$。
又 $\because \angle G=\angle C$，$\therefore \triangle ABG\backsim \triangle AFC$。
(2)由
(1)知，$\triangle ABG\backsim \triangle AFC$，$\therefore \frac{AB}{AF}=\frac{AG}{AC}$。
$\because AC=AF=b$，$\therefore AB=AG=a$，
$\therefore FG=AG - AF=a - b$。
(3)证明:$\because \angle CAG=\angle CBG$，$\angle BAG=\angle CAG$，
$\therefore \angle BAG=\angle CBG$。
$\because \angle ABD=\angle CBE$，$\therefore \angle BDG=\angle BAG+\angle ABD=\angle CBG+\angle CBE=\angle EBG$。
又 $\because \angle DGB=\angle BGE$，$\therefore \triangle DGB\backsim \triangle BGE$，
$\therefore \frac{GD}{BG}=\frac{BG}{GE}$，$\therefore BG^{2}=GE\cdot GD$。
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