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22. (10分)在体育测试时,九年级的一名高个子男同学掷铅球,已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分,如图,如果这名男同学的出手处点A的坐标为(0,2),铅球路线的最高处点B的坐标为(6,5).
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)求该男同学把铅球掷出去多远.(结果精确到0.01m,$\sqrt{15}≈3.873)$
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)求该男同学把铅球掷出去多远.(结果精确到0.01m,$\sqrt{15}≈3.873)$
答案：
解:
(1)设这个二次函数的表达式为$y=a(x - 6)^{2}+5$.
$\because$点$A(0,2)$在抛物线上,
$\therefore2 = 36a + 5$,解得$a=-\frac{1}{12}$,
$\therefore$这个二次函数的表达式为$y=-\frac{1}{12}(x - 6)^{2}+5$.
(2)当$y = 0$时,$-\frac{1}{12}(x - 6)^{2}+5 = 0$,
解得$x_{1}=6 + 2\sqrt{15}$,$x_{2}=6 - 2\sqrt{15}$(不合题意,舍去).$6 + 2\sqrt{15}\approx6 + 2×3.873\approx13.75(m)$.
答:该同学把铅球掷出去约13.75m.
(1)设这个二次函数的表达式为$y=a(x - 6)^{2}+5$.
$\because$点$A(0,2)$在抛物线上,
$\therefore2 = 36a + 5$,解得$a=-\frac{1}{12}$,
$\therefore$这个二次函数的表达式为$y=-\frac{1}{12}(x - 6)^{2}+5$.
(2)当$y = 0$时,$-\frac{1}{12}(x - 6)^{2}+5 = 0$,
解得$x_{1}=6 + 2\sqrt{15}$,$x_{2}=6 - 2\sqrt{15}$(不合题意,舍去).$6 + 2\sqrt{15}\approx6 + 2×3.873\approx13.75(m)$.
答:该同学把铅球掷出去约13.75m.
23. (10分)已知抛物线$y= ax^2-2ax+c$的图象经过点(-1,0),(0,3).
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)当-2≤x≤t时,函数的最大值为m,最小值为n,若m-n= 9,求t的取值范围.
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)当-2≤x≤t时,函数的最大值为m,最小值为n,若m-n= 9,求t的取值范围.
答案：
解:
(1)$\because$抛物线$y = ax^{2}-2ax + c$的图象经过点$(-1,0)$,(0,3),
$\therefore a + 2a + c = 0$,且$c = 3$,$\therefore a=-1$.
$\therefore$所求二次函数的表达式为$y=-x^{2}+2x + 3$.
(2)由题意,$\because y=-x^{2}+2x + 3=-(x - 1)^{2}+4$,
$\therefore$当$x = 1$时,$y$取最大值4.
①当$t\leqslant1$时,又$-2\leqslant x\leqslant t$,
$\therefore$当$x = t$时,$y$取最大值$-t^{2}+2t + 3=m$;
当$x=-2$时,$y$取最小值$-4-4 + 3=n$.
又$m - n = 9$,$\therefore-t^{2}+2t + 3-(-5)=9$.
$\therefore t^{2}-2t + 1 = 0$,$\therefore t = 1$.
②当$t＞1$时,若$t - 1\leqslant1-(-2)$,即$t\leqslant4$,
$\therefore1＜t\leqslant4$.
$\therefore$当$x = 1$时,$y$取最大值4,即$m = 4$;
当$x=-2$时,$y$取最小值$-4-4 + 3=-5 = n$,此时$m - n = 9$,符合题意.
若$t - 1＞1-(-2)$,即$t＞4$,
$\therefore$当$x = 1$时,$y$取最大值4,即$m = 4$;
当$x = t$时,$y$取最小值$-t^{2}+2t + 3 = n$.
又$m - n = 9$,$\therefore n=-5$.
$\therefore-t^{2}+2t + 3=-5$.
$\therefore t=-2$或$t = 4$,不合题意.
综上,$1\leqslant t\leqslant4$.
(1)$\because$抛物线$y = ax^{2}-2ax + c$的图象经过点$(-1,0)$,(0,3),
$\therefore a + 2a + c = 0$,且$c = 3$,$\therefore a=-1$.
$\therefore$所求二次函数的表达式为$y=-x^{2}+2x + 3$.
(2)由题意,$\because y=-x^{2}+2x + 3=-(x - 1)^{2}+4$,
$\therefore$当$x = 1$时,$y$取最大值4.
①当$t\leqslant1$时,又$-2\leqslant x\leqslant t$,
$\therefore$当$x = t$时,$y$取最大值$-t^{2}+2t + 3=m$;
当$x=-2$时,$y$取最小值$-4-4 + 3=n$.
又$m - n = 9$,$\therefore-t^{2}+2t + 3-(-5)=9$.
$\therefore t^{2}-2t + 1 = 0$,$\therefore t = 1$.
②当$t＞1$时,若$t - 1\leqslant1-(-2)$,即$t\leqslant4$,
$\therefore1＜t\leqslant4$.
$\therefore$当$x = 1$时,$y$取最大值4,即$m = 4$;
当$x=-2$时,$y$取最小值$-4-4 + 3=-5 = n$,此时$m - n = 9$,符合题意.
若$t - 1＞1-(-2)$,即$t＞4$,
$\therefore$当$x = 1$时,$y$取最大值4,即$m = 4$;
当$x = t$时,$y$取最小值$-t^{2}+2t + 3 = n$.
又$m - n = 9$,$\therefore n=-5$.
$\therefore-t^{2}+2t + 3=-5$.
$\therefore t=-2$或$t = 4$,不合题意.
综上,$1\leqslant t\leqslant4$.
24. (12分)已知抛物线$y= mx^2+2mx+m^2-2.$
(1)求此抛物线的对称轴.
(2)若此抛物线的顶点在直线y= 2x+6上,求抛物线的表达式.
(3)若点A(a,y_A)与点B(3,y_B)在此抛物线上,且y_A＜y_B,求a的取值范围.
(1)求此抛物线的对称轴.
(2)若此抛物线的顶点在直线y= 2x+6上,求抛物线的表达式.
(3)若点A(a,y_A)与点B(3,y_B)在此抛物线上,且y_A＜y_B,求a的取值范围.
答案：
解:
(1)$x=-\frac{2m}{2m}=-1$,
$\therefore$抛物线的对称轴为直线$x=-1$.
(2)$\because$抛物线的顶点在直线$y = 2x + 6$上,
$\therefore$把$x=-1$代入得$y = 2×(-1)+6 = 4$,
将$(-1,4)$代入抛物线表达式得$4=m - 2m + m^{2}-2$,解得$m = 3$或$m=-2$,
$\therefore$抛物线的表达式为$y = 3x^{2}+6x + 7$或$y=-2x^{2}-4x + 2$.
(3)点$B(3,y_{B})$关于直线$x=-1$的对称点为$(-5,y_{B})$,
当$m＞0$时,二次函数图象开口向上,
若$y_{A}＜y_{B}$,则$-5＜a＜3$;
当$m＜0$时,二次函数图象开口向下,
若$y_{A}＜y_{B}$,则$a＜-5$或$a＞3$.
(1)$x=-\frac{2m}{2m}=-1$,
$\therefore$抛物线的对称轴为直线$x=-1$.
(2)$\because$抛物线的顶点在直线$y = 2x + 6$上,
$\therefore$把$x=-1$代入得$y = 2×(-1)+6 = 4$,
将$(-1,4)$代入抛物线表达式得$4=m - 2m + m^{2}-2$,解得$m = 3$或$m=-2$,
$\therefore$抛物线的表达式为$y = 3x^{2}+6x + 7$或$y=-2x^{2}-4x + 2$.
(3)点$B(3,y_{B})$关于直线$x=-1$的对称点为$(-5,y_{B})$,
当$m＞0$时,二次函数图象开口向上,
若$y_{A}＜y_{B}$,则$-5＜a＜3$;
当$m＜0$时,二次函数图象开口向下,
若$y_{A}＜y_{B}$,则$a＜-5$或$a＞3$.
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