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22.(10分)如图,在四边形ABCD中,以AB为直径的半圆O经过点C,AC与BD相交于点E,$CD^2= CE \cdot CA$,分别延长AB,DC相交于点P,$PB= BO$,$CD= 2\sqrt{2}$.
(1)求证：AC平分$\angle DAB$.
(2)求线段BO的长.
(1)求证：AC平分$\angle DAB$.
(2)求线段BO的长.
答案：
解：
(1)证明：
∵$CD^{2}=CE\cdot CA$，
∴$\frac{CD}{CE}=\frac{CA}{CD}$．
∵∠ACD=∠DCE，
∴△ACD∽△DCE，
∴∠CAD=∠CDE．
∵∠CDE=∠CAB，
∴∠CAD=∠CAB，
∴AC平分∠DAB．
(2)由
(1)知，∠CAD=∠CAB，
∴$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BC}$，
∴BC=CD=$2\sqrt{2}$．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BD．
如图，连结OC，
易得OC⊥BD，
∴AD//OC，
∴∠COP=∠DAB．
设OB=OC=r，则BP=r，OP=2r．
∵四边形ABCD是内接四边形，
∴∠PCB=∠DAB=∠COP．
又
∵∠CPB=∠OPC，
∴△CPB∽△OPC，
∴$\frac{PB}{PC}=\frac{BC}{OC}=\frac{PC}{OP}$，即$\frac{r}{PC}=\frac{2\sqrt{2}}{r}=\frac{PC}{2r}$，
解得PC=$4\sqrt{2}$，r=4，
∴OB的长为4．
解：
(1)证明：
∵$CD^{2}=CE\cdot CA$，
∴$\frac{CD}{CE}=\frac{CA}{CD}$．
∵∠ACD=∠DCE，
∴△ACD∽△DCE，
∴∠CAD=∠CDE．
∵∠CDE=∠CAB，
∴∠CAD=∠CAB，
∴AC平分∠DAB．
(2)由
(1)知，∠CAD=∠CAB，
∴$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BC}$，
∴BC=CD=$2\sqrt{2}$．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BD．
如图，连结OC，
易得OC⊥BD，
∴AD//OC，
∴∠COP=∠DAB．
设OB=OC=r，则BP=r，OP=2r．
∵四边形ABCD是内接四边形，
∴∠PCB=∠DAB=∠COP．
又
∵∠CPB=∠OPC，
∴△CPB∽△OPC，
∴$\frac{PB}{PC}=\frac{BC}{OC}=\frac{PC}{OP}$，即$\frac{r}{PC}=\frac{2\sqrt{2}}{r}=\frac{PC}{2r}$，
解得PC=$4\sqrt{2}$，r=4，
∴OB的长为4．
23.(10分)如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在CD,AD上,连结AE,BF,$AE \perp BF且AE= BF$.
(1)求证：$AB= AD$.
(2)连结EF,BE,线段FD是线段AD与AF的比例中项.
①若$AD= 4$,求线段FD的长.
②求证：$\triangle DEF \backsim \triangle CEB$.
(1)求证：$AB= AD$.
(2)连结EF,BE,线段FD是线段AD与AF的比例中项.
①若$AD= 4$,求线段FD的长.
②求证：$\triangle DEF \backsim \triangle CEB$.
答案：
解：
(1)证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADE=90°，
∴∠ABF+∠AFB=90°．
∵AE⊥BF，
∴∠DAE+∠AFB=90°，
∴∠ABF=∠DAE．在△ABF和△DAE中，
$\begin{cases}∠ABF=∠DAE, \\∠BAF=∠ADE=90°, \\BF=AE,\end{cases}$
∴△ABF≌△DAE(AAS)，
∴AB=AD．
(2)①
∵线段DF是线段AD与AF的比例中项，
∴$DF^{2}=AF\cdot AD$．
∵AD=4，
∴$DF^{2}=(4-DF)×4$，
∴DF=-2+$2\sqrt{5}$(负值舍去)．
②证明：由
(1)可知，△ABF≌△DAE，AB=AD，
∴AF=DE，
∴DF=CE．
∵线段DF是线段AD与AF的比例中项，
∴$DF^{2}=AF\cdot AD$，
∴$\frac{DF}{AF}=\frac{DE}{DF}$．
∵∠FDE=∠BCE=90°，
∴△DEF∽△CEB．
(1)证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADE=90°，
∴∠ABF+∠AFB=90°．
∵AE⊥BF，
∴∠DAE+∠AFB=90°，
∴∠ABF=∠DAE．在△ABF和△DAE中，
$\begin{cases}∠ABF=∠DAE, \\∠BAF=∠ADE=90°, \\BF=AE,\end{cases}$
∴△ABF≌△DAE(AAS)，
∴AB=AD．
(2)①
∵线段DF是线段AD与AF的比例中项，
∴$DF^{2}=AF\cdot AD$．
∵AD=4，
∴$DF^{2}=(4-DF)×4$，
∴DF=-2+$2\sqrt{5}$(负值舍去)．
②证明：由
(1)可知，△ABF≌△DAE，AB=AD，
∴AF=DE，
∴DF=CE．
∵线段DF是线段AD与AF的比例中项，
∴$DF^{2}=AF\cdot AD$，
∴$\frac{DF}{AF}=\frac{DE}{DF}$．
∵∠FDE=∠BCE=90°，
∴△DEF∽△CEB．
24.(12分)如图,在$\triangle ABC$中,$AB= 4$,D是AB上一点(不与点A,B重合),$DE // BC$,交AC于点E. 设$\triangle ABC$的面积为S,$\triangle DEC的面积为S'$.
(1)当D是AB的中点时,求$\frac{S'}{S}$的值.
(2)设$AD= x$,$\frac{S'}{S}= y$,求y与x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围.
(3)根据y的范围,求$S-4S'$的最小值.
(1)当D是AB的中点时,求$\frac{S'}{S}$的值.
(2)设$AD= x$,$\frac{S'}{S}= y$,求y与x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围.
(3)根据y的范围,求$S-4S'$的最小值.
答案：
解：
(1)
∵D为AB的中点，
∴AB=2AD．
∵DE//BC，
∴AE=EC．
∵△ADE的边AE上的高和△CED的边CE上的高相等，
∴$S_{\triangle ADE}=S_{\triangle CDE}=S'$．
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}}=(\frac{AD}{AB})^{2}=\frac{1}{4}$，
∴$\frac{S'}{S}=\frac{1}{4}$．
(2)
∵AB=4，AD=x，
∴$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{x^{2}}{16}$①
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$．
∵AB=4，AD=x，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{x}{4}$，
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{x}{4-x}$．
∵△ADE的边AE上的高和△CED的边CE上的高相等，
∴$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle CDE}}=\frac{AE}{CE}=\frac{x}{4-x}$，②
①÷②得$y=\frac{S'}{S}=-\frac{1}{16}x^{2}+\frac{1}{4}x$．
∵AB=4，
∴x的取值范围是0＜x＜4．
(3)由
(2)知x的取值范围是0＜x＜4，
∴$y=\frac{S'}{S}=-\frac{1}{16}x^{2}+\frac{1}{4}x=-\frac{1}{16}(x-2)^{2}+\frac{1}{4}\leq\frac{1}{4}$，
∴$S'\leq\frac{1}{4}S$，
∴$S\geq4S'$，
∴S-4S'≥0，
∴S-4S'的最小值为0．
(1)
∵D为AB的中点，
∴AB=2AD．
∵DE//BC，
∴AE=EC．
∵△ADE的边AE上的高和△CED的边CE上的高相等，
∴$S_{\triangle ADE}=S_{\triangle CDE}=S'$．
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}}=(\frac{AD}{AB})^{2}=\frac{1}{4}$，
∴$\frac{S'}{S}=\frac{1}{4}$．
(2)
∵AB=4，AD=x，
∴$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{x^{2}}{16}$①
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$．
∵AB=4，AD=x，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{x}{4}$，
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{x}{4-x}$．
∵△ADE的边AE上的高和△CED的边CE上的高相等，
∴$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle CDE}}=\frac{AE}{CE}=\frac{x}{4-x}$，②
①÷②得$y=\frac{S'}{S}=-\frac{1}{16}x^{2}+\frac{1}{4}x$．
∵AB=4，
∴x的取值范围是0＜x＜4．
(3)由
(2)知x的取值范围是0＜x＜4，
∴$y=\frac{S'}{S}=-\frac{1}{16}x^{2}+\frac{1}{4}x=-\frac{1}{16}(x-2)^{2}+\frac{1}{4}\leq\frac{1}{4}$，
∴$S'\leq\frac{1}{4}S$，
∴$S\geq4S'$，
∴S-4S'≥0，
∴S-4S'的最小值为0．
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