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17.(8分)已知$\frac{a}{b}= \frac{2}{5}$.
(1)求代数式$\frac{a+4b}{2a-3b}$的值.
(2)当$2a+3b-3= 35$时,求a,b的值.
(1)求代数式$\frac{a+4b}{2a-3b}$的值.
(2)当$2a+3b-3= 35$时,求a,b的值.
答案：
解：
∵$\frac{a}{b}=\frac{2}{5}$，
∴令a=2k，b=5k，
(1)$\frac{a+4b}{2a-3b}$
=$\frac{2k+4×5k}{2×2k-3×5k}$
=$\frac{22k}{-11k}$
=-2．
(2)当2a+3b-3=35时，
2×2k+3×5k-3=35，
∴k=2，
∴a=2k=4，b=5k=10．
∵$\frac{a}{b}=\frac{2}{5}$，
∴令a=2k，b=5k，
(1)$\frac{a+4b}{2a-3b}$
=$\frac{2k+4×5k}{2×2k-3×5k}$
=$\frac{22k}{-11k}$
=-2．
(2)当2a+3b-3=35时，
2×2k+3×5k-3=35，
∴k=2，
∴a=2k=4，b=5k=10．
18.(8分)在一矩形ABCD的花坛四周修筑小路,使得相对两条小路的宽均相等. 花坛$AB= 20$米,$AD= 30$米,试问小路的宽x与y的比值为多少时,能使小路四周所围成的矩形$A'B'C'D' \backsim$矩形ABCD？请说明理由.
答案：
解：由题意有$\frac{20}{20+2y}=\frac{30}{30+2x}$，
从而有20(30+2x)=30(20+2y)，解得$\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$．
从而有20(30+2x)=30(20+2y)，解得$\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$．
19.(8分)如图,由边长为1的小正方形组成的$6 × 6$网格中,$\triangle ABC$的顶点都在格点上,点D在BC边上,且$BD= 2CD$.
(1)BD的长等于______.
(2)请你仅用无刻度的直尺在边AB上找点E,使得$\triangle BDE与\triangle ABC$相似.(要求画出两种情形)
(1)BD的长等于______.
(2)请你仅用无刻度的直尺在边AB上找点E,使得$\triangle BDE与\triangle ABC$相似.(要求画出两种情形)
答案：
解：
(1)$2\sqrt{2}$
(2)如图1，2，△BDE即为所求．
解：
(1)$2\sqrt{2}$
(2)如图1，2，△BDE即为所求．
20.(8分)如图,AC是$\odot O$的直径,点B在$\odot O$上,$\angle ACB= 30^\circ$.
(1)利用尺规作$\angle ABC$的平分线BD,交AC于点E,交$\odot O$于点D,连结CD.(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)所作的图形中,求$\triangle ABE与\triangle CDE$的面积之比.
(1)利用尺规作$\angle ABC$的平分线BD,交AC于点E,交$\odot O$于点D,连结CD.(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)所作的图形中,求$\triangle ABE与\triangle CDE$的面积之比.
答案：
解：
(1)如图所示．
(2)如图，连结OD，设⊙O的半径为r．
在△ABE和，△DCE中
$\begin{cases}∠BAE=∠CDE, \\∠AEB=∠DEC,\end{cases}$
∴△ABE∽△DCE．
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，
∴AB=$\frac{1}{2}$AC=r．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=45°．
又
∵∠ABD=∠ACD，OD=OC，∠ACD=∠ODC=45°，
∴∠DOC=90°．
∵在Rt△ODC中，DC=$\sqrt{OD^{2}+OC^{2}}=\sqrt{2}r$，
∴$\frac{S_{\triangle ABE}}{S_{\triangle CDE}}=(\frac{AB}{DC})^{2}=(\frac{r}{\sqrt{2}r})^{2}=\frac{1}{2}$．
解：
(1)如图所示．
(2)如图，连结OD，设⊙O的半径为r．
在△ABE和，△DCE中
$\begin{cases}∠BAE=∠CDE, \\∠AEB=∠DEC,\end{cases}$
∴△ABE∽△DCE．
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，
∴AB=$\frac{1}{2}$AC=r．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=45°．
又
∵∠ABD=∠ACD，OD=OC，∠ACD=∠ODC=45°，
∴∠DOC=90°．
∵在Rt△ODC中，DC=$\sqrt{OD^{2}+OC^{2}}=\sqrt{2}r$，
∴$\frac{S_{\triangle ABE}}{S_{\triangle CDE}}=(\frac{AB}{DC})^{2}=(\frac{r}{\sqrt{2}r})^{2}=\frac{1}{2}$．
21.(8分)如图,在$\triangle ABC$中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,连结DE,DF,BE,DF与BE相交于点G. 已知四边形DFCE是平行四边形,且$\frac{DE}{BC}= \frac{2}{5}$.
(1)若$AC= 25$,求线段AE,GF的长.
(2)若四边形GFCE的面积为48,求$\triangle EBC$的面积.
(1)若$AC= 25$,求线段AE,GF的长.
(2)若四边形GFCE的面积为48,求$\triangle EBC$的面积.
答案：
解：
(1)
∵四边形DFCE是平行四边形，
∴DE//BC，DF//AC，DE=CF，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}=\frac{2}{5}$．
∵AC=25，
∴AE=10，
∴CE=25-10=15．
∵$\frac{DE}{BC}=\frac{CF}{BC}=\frac{2}{5}$，
∴$\frac{BF}{BC}=\frac{3}{5}$．
∵DF//AC，
∴△BFG∽△BCE，
∴$\frac{FG}{CE}=\frac{BF}{BC}=\frac{3}{5}$，
∴GF=9．
(2)
∵△BFG∽△BCE，$\frac{BF}{BC}=\frac{3}{5}$，
∴$\frac{S_{\triangle BFG}}{S_{\triangle BCE}}=(\frac{3}{5})^{2}=\frac{9}{25}$．
∵$S_{\triangle BFG}+S_{四边形GFCE}=S_{\triangle BCE}$，
∴$\frac{S_{四边形GFCE}}{S_{\triangle BCE}}=\frac{25-9}{25}=\frac{16}{25}$．
∵$S_{四边形GFCE}=48$，
∴$S_{\triangle BCE}=75$．
(1)
∵四边形DFCE是平行四边形，
∴DE//BC，DF//AC，DE=CF，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}=\frac{2}{5}$．
∵AC=25，
∴AE=10，
∴CE=25-10=15．
∵$\frac{DE}{BC}=\frac{CF}{BC}=\frac{2}{5}$，
∴$\frac{BF}{BC}=\frac{3}{5}$．
∵DF//AC，
∴△BFG∽△BCE，
∴$\frac{FG}{CE}=\frac{BF}{BC}=\frac{3}{5}$，
∴GF=9．
(2)
∵△BFG∽△BCE，$\frac{BF}{BC}=\frac{3}{5}$，
∴$\frac{S_{\triangle BFG}}{S_{\triangle BCE}}=(\frac{3}{5})^{2}=\frac{9}{25}$．
∵$S_{\triangle BFG}+S_{四边形GFCE}=S_{\triangle BCE}$，
∴$\frac{S_{四边形GFCE}}{S_{\triangle BCE}}=\frac{25-9}{25}=\frac{16}{25}$．
∵$S_{四边形GFCE}=48$，
∴$S_{\triangle BCE}=75$．
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