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22.(10分)如图,三角形花园ABC紧临湖泊,四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道.经测量,点C在点A的正东方向,AC= 200米,点E在点A的正北方向,点B,D在点C的正北方向,BD= 100米,点B在点A的北偏东30°方向,点D在点E的北偏东45°方向.
(1)求步道DE的长度.(结果精确到个位)
(2)点D处有直饮水,小红从A出发沿人行步道去取水,可以经过点B到达点D,也可以经过点E到达点D.请计算说明她走哪一条路较近.(参考数据：$\sqrt{2}\approx1.414$,$\sqrt{3}\approx1.732$)
(1)求步道DE的长度.(结果精确到个位)
(2)点D处有直饮水,小红从A出发沿人行步道去取水,可以经过点B到达点D,也可以经过点E到达点D.请计算说明她走哪一条路较近.(参考数据：$\sqrt{2}\approx1.414$,$\sqrt{3}\approx1.732$)
答案：
解:
(1)过E作BC的垂线,垂足为H,如图.
∴∠CAE=∠C=∠CHE=90°,
∴四边形ACHE是矩形,
∴EH=AC=200米.根据题意得∠D=45°,
∴△DEH为等腰直角三角形，
∴DH=EH=200米,
∴DE=$\sqrt{2}$EH=200$\sqrt{2}$≈283(米).
(2)根据题意得∠ABC=∠BAE=30°,
在Rt△ABC中,AB=2AC=400(米),
∴经过点B到达点D,总路程为AB+BD=500(米).
BC=$\sqrt{AB²-AC²}$=200$\sqrt{3}$(米),
∴AE=CH=BC+BD−DH=200$\sqrt{3}$+100−200 =200$\sqrt{3}$−100(米),
∴经过点E到达点D,总路程为AE+DE=200$\sqrt{3}$−100+200$\sqrt{2}$≈529(米),
∵529＞500,
∴经过点B到达点D较近.
解:
(1)过E作BC的垂线,垂足为H,如图.
∴∠CAE=∠C=∠CHE=90°,
∴四边形ACHE是矩形,
∴EH=AC=200米.根据题意得∠D=45°,
∴△DEH为等腰直角三角形，
∴DH=EH=200米,
∴DE=$\sqrt{2}$EH=200$\sqrt{2}$≈283(米).
(2)根据题意得∠ABC=∠BAE=30°,
在Rt△ABC中,AB=2AC=400(米),
∴经过点B到达点D,总路程为AB+BD=500(米).
BC=$\sqrt{AB²-AC²}$=200$\sqrt{3}$(米),
∴AE=CH=BC+BD−DH=200$\sqrt{3}$+100−200 =200$\sqrt{3}$−100(米),
∴经过点E到达点D,总路程为AE+DE=200$\sqrt{3}$−100+200$\sqrt{2}$≈529(米),
∵529＞500,
∴经过点B到达点D较近.
23.(10分)如图,这是某体育看台侧面的示意图,观众区AC的坡比i为1∶2,顶端C离水平地面AB的高度为10 m,从顶棚的D处看E处的仰角α= 18°30',竖直的立杆上C,D两点间的距离为4 m,E处到观众区底端A处的水平距离AF为3 m.求：
(1)观众区的水平宽度AB.
(2)顶棚的E处离地面的高度EF.($\sin 18^\circ30'\approx0.32$,$\tan 18^\circ30'\approx0.33$,结果精确到0.1 m)
(1)观众区的水平宽度AB.
(2)顶棚的E处离地面的高度EF.($\sin 18^\circ30'\approx0.32$,$\tan 18^\circ30'\approx0.33$,结果精确到0.1 m)
答案：
解:
(1)
∵观众区AC的坡比i为1:2,顶端C离水平地面AB的高度为10m,
∴AB=2BC=20m.答:观众区的水平宽度AB为20m.
(2)作CM⊥EF于M,DN⊥EF于N,如图,
则四边形MFBC，MCDN为矩形,
∴MF=BC=10m,MN=CD=4m,DN=MC=BF=23m.
在Rt△END中,tan∠EDN=$\frac{EN}{DN}$,
则EN=DN·tan∠EDN≈23×0.33=7.59(m),
∴EF=EN+MN+MF≈7.59+4+10≈21.6(m).
答:顶棚的E处离地面的高度EF约为21.6m.
解:
(1)
∵观众区AC的坡比i为1:2,顶端C离水平地面AB的高度为10m,
∴AB=2BC=20m.答:观众区的水平宽度AB为20m.
(2)作CM⊥EF于M,DN⊥EF于N,如图,
则四边形MFBC，MCDN为矩形,
∴MF=BC=10m,MN=CD=4m,DN=MC=BF=23m.
在Rt△END中,tan∠EDN=$\frac{EN}{DN}$,
则EN=DN·tan∠EDN≈23×0.33=7.59(m),
∴EF=EN+MN+MF≈7.59+4+10≈21.6(m).
答:顶棚的E处离地面的高度EF约为21.6m.
24.(12分)如图,在锐角三角形ABC中,AB= AC,以BC为直径的⊙O分别交AB,AC于点D,E,连结OD,OE,DE.
(1)若∠A= 50°,求$\overset{\frown}{DE}$的度数.
(2)求证：DE//BC.
(3)若⊙O的半径为m,$\tan\angle ABC= 2$,求四边形ADOE的面积.(用含m的代数式表示)
(1)若∠A= 50°,求$\overset{\frown}{DE}$的度数.
(2)求证：DE//BC.
(3)若⊙O的半径为m,$\tan\angle ABC= 2$,求四边形ADOE的面积.(用含m的代数式表示)
答案：
解:
(1)如图,连结BE.
∵BC是直径，
∴∠BEC=90°,
∴∠AEB=90°.
∵∠BAC=50°,
∴∠ABE=90°−50°=40°,
∴∠DOE=2∠DBE=80°,
∴⌒DE的度数为80°.
(2)证明:设∠BAC=2α.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=90°-α.
∵∠ABE=90°-2α,
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE =α.
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB=90°-α,
∴∠BOD=180°-2×(90°-α)=2α,
∴∠BED=$\frac{1}{2}$∠BOD=α,
∴∠CBE=∠BED,
∴DE//BC.
(3)如图,连结AO.
∵AB=AC,BO=OC,
∴AO⊥BC,
∴tan∠ABC=$\frac{AO}{OB}$=2.
∵OB=m,
∴OA=2m.
∵tanC=$\frac{BE}{EC}$=2,
∴EC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$m.
∵AB=AC=$\sqrt{5}$m,
∴AE=AC−EC=$\sqrt{5}$m−$\frac{2\sqrt{5}}{5}$m=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$m.
∵DE//CB,
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AE}{AC}$,
∴$\frac{DE}{2m}$=$\frac{\frac{3\sqrt{5}}{5}m}{\sqrt{5}m}$,
∴DE=$\frac{6}{5}$m.
∵AO⊥BC,DE//BC,
∴AO⊥DE,
∴S四边形ADOE=$\frac{1}{2}$AO·DE=$\frac{1}{2}$×2m×$\frac{6}{5}$m=$\frac{6}{5}$m².
解:
(1)如图,连结BE.
∵BC是直径，
∴∠BEC=90°,
∴∠AEB=90°.
∵∠BAC=50°,
∴∠ABE=90°−50°=40°,
∴∠DOE=2∠DBE=80°,
∴⌒DE的度数为80°.
(2)证明:设∠BAC=2α.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=90°-α.
∵∠ABE=90°-2α,
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE =α.
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB=90°-α,
∴∠BOD=180°-2×(90°-α)=2α,
∴∠BED=$\frac{1}{2}$∠BOD=α,
∴∠CBE=∠BED,
∴DE//BC.
(3)如图,连结AO.
∵AB=AC,BO=OC,
∴AO⊥BC,
∴tan∠ABC=$\frac{AO}{OB}$=2.
∵OB=m,
∴OA=2m.
∵tanC=$\frac{BE}{EC}$=2,
∴EC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$m.
∵AB=AC=$\sqrt{5}$m,
∴AE=AC−EC=$\sqrt{5}$m−$\frac{2\sqrt{5}}{5}$m=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$m.
∵DE//CB,
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AE}{AC}$,
∴$\frac{DE}{2m}$=$\frac{\frac{3\sqrt{5}}{5}m}{\sqrt{5}m}$,
∴DE=$\frac{6}{5}$m.
∵AO⊥BC,DE//BC,
∴AO⊥DE,
∴S四边形ADOE=$\frac{1}{2}$AO·DE=$\frac{1}{2}$×2m×$\frac{6}{5}$m=$\frac{6}{5}$m².
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