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21. (8 分)数学课上老师出了这样一道题目：“当$a = -2 025$,$b = 3$时,求$2a^{3} - 3ab + 2b^{3} - (a^{3} - 2ab + b^{3}) - a^{3} + ab - 1$的值。”小明同学把$a = -2 025错抄成了a = 2 025$,但他的计算结果却是正确的,这是怎么回事？
(1)请你通过化简,说明小明计算结果正确的原因；
(2)小红据此又改编了一道题,请你试一试：无论$x$取何值,多项式$4x^{3} + mx - 2x + nx^{3} + 2$的值都不变,求$2m - n$的值。
(1)请你通过化简,说明小明计算结果正确的原因；
(2)小红据此又改编了一道题,请你试一试：无论$x$取何值,多项式$4x^{3} + mx - 2x + nx^{3} + 2$的值都不变,求$2m - n$的值。
答案：
解:
(1)$2a^{3}-3ab+2b^{3}-(a^{3}-2ab+b^{3})-a^{3}+ab-1=2a^{3}-3ab+2b^{3}-a^{3}+2ab-b^{3}-a^{3}+ab-1=b^{3}-1$.因为原式的化简结果与a的取值无关,所以无论a取何值,都不会影响结果.
(2)$4x^{3}+mx-2x+nx^{3}+2=(4+n)x^{3}+(m-2)x+2$.因为无论x取何值,多项式$4x^{3}+mx-2x+nx^{3}+2$的值都不变,所以$4+n=0,m-2=0$,即n=-4,m=2,所以$2m-n=2× 2-(-4)=8$.
(1)$2a^{3}-3ab+2b^{3}-(a^{3}-2ab+b^{3})-a^{3}+ab-1=2a^{3}-3ab+2b^{3}-a^{3}+2ab-b^{3}-a^{3}+ab-1=b^{3}-1$.因为原式的化简结果与a的取值无关,所以无论a取何值,都不会影响结果.
(2)$4x^{3}+mx-2x+nx^{3}+2=(4+n)x^{3}+(m-2)x+2$.因为无论x取何值,多项式$4x^{3}+mx-2x+nx^{3}+2$的值都不变,所以$4+n=0,m-2=0$,即n=-4,m=2,所以$2m-n=2× 2-(-4)=8$.
22. (8 分)已知$a$,$b$互为相反数,$c$,$d$互为倒数,多项式$-5x^{2}y^{m + 1} + \dfrac{1}{3}xy^{2} - \dfrac{1}{4}x^{3} + 6$是六次四项式,这个多项式的次数与单项式$\dfrac{7}{2}x^{2n}y^{5 - m}$的次数相同,求$(a + b)m + m^{n} - (cd - n)^{2 026}$的值。
答案：
解:因为多项式$-5x^{2}y^{m+1}+\frac{1}{3}xy^{2}-\frac{1}{4}x^{3}+6$是六次四项式,所以$2+m+1=6$,所以m=3.因为这个多项式的次数与单项式$\frac{7}{2}x^{2n}y^{5-m}$的次数相同,所以$2n+5-m=6$,则$2n+5-3=6$,所以n=2.因为a,b互为相反数,c,d互为倒数,所以a+b=0,cd=1,所以$(a+b)m+m^{n}-(cd-n)^{2026}=0+9-(1-2)^{2026}=9-1=8$.
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