《2025年暑假作业甘肃教育出版社高一数学》

12. 一个正三棱柱的三视图如下图所示(单位：cm),求这个正三棱柱的表面积与体积。

答案：
解：由三视图知直观图如图所示，则高 $ AA' = 2cm $，底面高 $ B'D' = 2\sqrt{3}cm $，所以底面边长 $ A'B' = 2\sqrt{3} × \frac{2}{\sqrt{3}} = 4cm $ 一个底面的面积为 $ \frac{1}{2} × 2\sqrt{3} × 4 = 4\sqrt{3}cm^{2} $ 所以 $ S_{表面积} = 2 × 4\sqrt{3} + 4 × 2 × 3 = 24 + 8\sqrt{3}cm^{2} $
$ V = 4\sqrt{3} × 2 = 8\sqrt{3}cm^{3} $
所以表面积为 $ (24 + 8\sqrt{3})cm^{2} $，体积为 $ 8\sqrt{3}cm^{3} $。