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2025年暑假作业甘肃教育出版社高一数学
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12. 已知$a= (cosx+sinx,sinx),b= (cosx-sinx,2cosx)$,设$f(x)= a\cdot b$。
(1)求函数$f(x)$的最小正周期；
(2)当$x∈[0,\frac {π}{2}]$时,求函数$f(x)$的最大值和最小值。
(1)求函数$f(x)$的最小正周期；
(2)当$x∈[0,\frac {π}{2}]$时,求函数$f(x)$的最大值和最小值。
答案：
解：
(1) 因为 $f(x) = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$
= $(\cos x + \sin x) \cdot (\cos x - \sin x) + \sin x \cdot 2\cos x$
= $\cos^2 x - \sin^2 x + 2\sin x \cos x$
= $\cos 2x + \sin 2x$
= $\sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos 2x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin 2x)$
= $\sqrt{2} \sin (2x + \frac{\pi}{4})$.
$\therefore f(x)$ 的最小正周期 $T = \pi$.
(2) $\because 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}, \therefore \frac{\pi}{4} \leq 2x + \frac{\pi}{4} \leq \frac{5\pi}{4}$,
$\therefore$ 当 $2x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$, 即 $x = \frac{\pi}{8}$ 时, $f(x)$ 有最大值 $\sqrt{2}$, 当 $2x + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$, 即 $x = \frac{\pi}{2}$ 时,
$f(x)$ 有最小值 -1.
(1) 因为 $f(x) = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$
= $(\cos x + \sin x) \cdot (\cos x - \sin x) + \sin x \cdot 2\cos x$
= $\cos^2 x - \sin^2 x + 2\sin x \cos x$
= $\cos 2x + \sin 2x$
= $\sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos 2x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin 2x)$
= $\sqrt{2} \sin (2x + \frac{\pi}{4})$.
$\therefore f(x)$ 的最小正周期 $T = \pi$.
(2) $\because 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}, \therefore \frac{\pi}{4} \leq 2x + \frac{\pi}{4} \leq \frac{5\pi}{4}$,
$\therefore$ 当 $2x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$, 即 $x = \frac{\pi}{8}$ 时, $f(x)$ 有最大值 $\sqrt{2}$, 当 $2x + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$, 即 $x = \frac{\pi}{2}$ 时,
$f(x)$ 有最小值 -1.
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