《2025年暑假作业甘肃教育出版社高一数学》

12. 已知向量 $ \boldsymbol{a}= (1,\sqrt{3}) $,$ \boldsymbol{b}= (-2,0) $。
(1)求 $ |\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}| $；
(2)求向量 $ \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} $ 与 $ \boldsymbol{a} $ 的夹角；
(3)当 $ t\in[-1,1] $ 时,求 $ |\boldsymbol{a}-t\boldsymbol{b}| $ 的取值范围。

答案： 解：
(1)因为向量$\boldsymbol{a}=(1,\sqrt{3})$，$\boldsymbol{b}=(-2,0)$，所以$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(1,\sqrt{3})-(-2,0)=(3,\sqrt{3})$，$\vert \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\vert =2\sqrt{3}$。
(2)因为$(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot \boldsymbol{a}=6$，所以$\cos \langle (\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}),\boldsymbol{a}\rangle=\frac{(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot \boldsymbol{a}}{\vert \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\vert \vert \boldsymbol{a}\vert }=\frac{6}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以向量$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{a}$的夹角为$\frac{\pi}{6}$。
(3)因为$\vert \boldsymbol{a}-t\boldsymbol{b}\vert ^{2}=\boldsymbol{a}^{2}+t^{2}\boldsymbol{b}^{2}-2t\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=4t^{2}+4t + 4=4\left(t+\frac{1}{2}\right)^{2}+3$，所以当$t\in [-1,1]$时，最小值是$3$，最大值是$12$。