《2025年暑假作业甘肃教育出版社高一数学》

12. 已知复数 $ z = b\text{i}(b\in\mathbf{R}) $,$ \frac{z - 2}{1 + \text{i}} $ 是纯虚数,$\text{i}$ 是虚数单位.
(1) 求复数 $ z $；
(2) 若复数 $ (m + z)^{2} $ 所表示的点在第二象限,求实数 $ m $ 的取值范围.

答案： 12. 解：
(1) $\because z = bi$，$\therefore \frac{z - 2}{1 + i} = \frac{bi - 2}{1 + i} = \frac{(bi - 2)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{b - 2}{2} + \frac{b + 2}{2}i$。又 $\because \frac{z - 2}{1 + i}$ 是纯虚数，$\therefore \frac{b - 2}{2} = 0$，$\therefore b = 2$，即 $z = 2i$。
(2) $\because z = 2i$，$m \in \mathbf{R}$，$\therefore (m + z)^2 = (m + 2i)^2 = (m^2 - 4) + 4mi$，又 $\because$ 复数所表示的点在第二象限，$\therefore \begin{cases} m^2 - 4 ＜ 0, \\ 4m ＞ 0, \end{cases}$ 解得 $0 ＜ m ＜ 2$，即 $m \in (0, 2)$ 时，复数所表示的点在第二象限。