《2025年暑假作业甘肃教育出版社高一数学》

12. 已知$\sin\alpha=\frac{4\sqrt{3}}{7}$,$\cos(\beta-\alpha)= \frac{13}{14}$,且$0＜\beta＜\alpha＜\frac{\pi}{2}$.
(1)求$\tan2\alpha$的值；
(2)求$\beta$的值.

答案： 解：
(1) 由 $\sin \alpha=\frac{4 \sqrt{3}}{7}, 0＜\alpha＜\frac{\pi}{2}$，
得 $\cos \alpha=\sqrt{1-\sin ^2 \alpha}$
$=\sqrt{1-\left(\frac{4 \sqrt{3}}{7}\right)^2}=\frac{1}{7}$，
$\therefore \tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{4 \sqrt{3}}{7} × \frac{7}{1}=4 \sqrt{3}$，
$\therefore \tan 2 \alpha=\frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^2 \alpha}=\frac{2 × 4 \sqrt{3}}{1-(4 \sqrt{3})^2}$
$=-\frac{8 \sqrt{3}}{47}$；
(2) 由 $0＜\beta＜\alpha＜\frac{\pi}{2}$, 得 $-\frac{\pi}{2}＜\beta-\alpha＜0$，
又 $\because \cos (\beta-\alpha)=\frac{13}{14}$，
$\therefore \sin (\beta-\alpha)=-\sqrt{1-\cos ^2(\beta-\alpha)}$
$=-\sqrt{1-\left(\frac{13}{14}\right)^2}=-\frac{3 \sqrt{3}}{14}$，
由 $\beta=(\beta-\alpha)+\alpha$ 得 $\cos \beta=\cos [(\beta-\alpha)+\alpha]$
$=\cos (\beta-\alpha) \cos \alpha-\sin (\beta-\alpha) \sin \alpha$
$=\frac{13}{14} × \frac{1}{7}+\frac{3 \sqrt{3}}{14} × \frac{4 \sqrt{3}}{7}$
$=\frac{1}{2}$，
$\therefore$ 由 $0＜\beta＜\frac{\pi}{2}$ 得 $\beta=\frac{\pi}{3}$.