《2025年暑假作业甘肃教育出版社高一数学》

12. 如图,在正方体 $ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $ 中, $ M, M_1 $ 分别是棱 $ AD $ 和 $ A_1D_1 $ 的中点.

(1)求证:四边形 $ BB_1M_1M $ 为平行四边形;
(2)求证: $ \angle BMC = \angle B_1M_1C_1 $.

答案：
(1)求证:四边形BB₁M₁M为平行四边形;证明:在正方形ADD₁A₁中,M,M₁分别为AD,A₁D₁的中点,
∴MM₁ // AA₁,MM₁ = AA₁.又
∵AA₁ // BB₁,AA₁ = BB₁,
∴MM₁ // BB₁,且MM₁ = BB₁,
∴四边形BB₁M₁M为平行四边形.
(2)求证:∠BMC = ∠B₁M₁C₁.证明:法一:由
(1)知四边形BB₁M₁M为平行四边形,
∴B₁M₁ // BM.同理可得四边形CC₁M₁M为平行四边形,
∴C₁M₁ // CM.由平面几何知识可知,∠BMC和∠B₁M₁C₁都是锐角.
∴∠BMC = ∠B₁M₁C₁.法二:由
(1)知四边形BB₁M₁M为平行四边形,
∴B₁M₁ = BM.同理可得四边形CC₁M₁M为平行四边形,
∴C₁M₁ = CM.又
∵B₁C₁ = BC,
∴△BCM ≌ △B₁C₁M₁.
∴∠BMC = ∠B₁M₁C₁.