《2025年暑假作业甘肃教育出版社高一数学》

12. 用学习过的几何体,设计一个学习用品,并解释你的设计。

答案： 解：设计一个“多功能几何体笔筒”。
1. 主体为正四棱柱，底面边长8cm，高15cm，用于放置铅笔、钢笔等长条形学习用品，正四棱柱结构稳定，内部空间规整，便于取放。
2. 正四棱柱顶部一侧粘接一个半球体，半径3cm，半球体开口朝上，可用于放置橡皮、回形针等小型学习用品，半球体无棱角，使用安全且造型美观。
3. 正四棱柱底面安装四个半径1cm的小圆柱作为支撑脚，使笔筒放置更平稳，避免直接接触桌面磨损。
（注：设计中涉及的正四棱柱、半球体、圆柱均为高一空间几何体章节学习内容，尺寸为合理假设，满足学习用品实用需求。）

一个桶装满10斤油,另外有一个能装3斤油的空桶和一个能装7斤油的空桶。试用这三个桶把10斤油平分为两份。

答案： 【解析】：本题是一个经典的倒油问题，它考察的是逻辑推理能力和空间想象能力，不涉及具体的数学知识，但需要通过构造性的方法来解决。题目给出了一个10斤的桶，一个3斤的桶和一个7斤的桶，目标是将10斤的油平分为两份。解决这类问题的方法一般是通过一步步的倒油操作，使得某个容器中恰好有5斤油，从而完成平分。
我们可以先尝试通过倒推法找到解决路径，从目标状态（两个容器中各有5斤油）出发，反向推导出初始状态（10斤桶装满油，其他两个桶为空）的倒油步骤。
具体的倒油步骤如下：
1. 将10斤桶中的油倒入7斤桶中，直到7斤桶满。
10斤桶：3斤
7斤桶：7斤
3斤桶：0斤
2. 将7斤桶中的油倒入3斤桶中，直到3斤桶满。
10斤桶：3斤
7斤桶：4斤
3斤桶：3斤
3. 将3斤桶中的油全部倒回10斤桶中。
10斤桶：6斤
7斤桶：4斤
3斤桶：0斤
4. 将7斤桶中的油倒入3斤桶中，直到3斤桶满。
10斤桶：6斤
7斤桶：1斤
3斤桶：3斤
5. 将3斤桶中的油全部倒回10斤桶中。
10斤桶：9斤
7斤桶：1斤
3斤桶：0斤
6. 将7斤桶中剩下的1斤油倒入3斤桶中。
10斤桶：9斤
7斤桶：0斤
3斤桶：1斤
7. 将10斤桶中的油倒入7斤桶中，直到7斤桶满。
10斤桶：2斤
7斤桶：7斤
3斤桶：1斤
8. 将7斤桶中的油倒入3斤桶中，直到3斤桶满（此时3斤桶已有1斤油，所以只能再倒入2斤油）。
10斤桶：2斤
7斤桶：5斤
3斤桶：3斤
9. 将3斤桶中的油全部倒回10斤桶中。
10斤桶：5斤
7斤桶：5斤
3斤桶：0斤
至此，我们已经成功地将10斤油平分为两份，每份5斤，分别在10斤桶和7斤桶中。
【答案】：按照上述步骤操作，可以将10斤油平分为两份，每份5斤。

有大、中、小三个酒桶,分别能装19斤、13斤、7斤酒。现在大桶空着,另外两个桶都装满了酒。试问：用这三个桶倒几次可以把全部酒平分成两份？

答案： 【解析】：
本题主要考查的是逻辑推理和数学运算能力，特别是在有限制条件（如特定的容器和容量）下进行问题的求解。题目给出了三个不同容量的酒桶，以及它们的初始状态（大桶空着，中桶和小桶都装满了酒），要求通过倒酒的方式将酒平分成两份。
为了解决这个问题，我们需要采用逐步推理的方法，尝试不同的倒酒方式，并跟踪每次倒酒后各个酒桶中的酒量，直到找到一种方式将酒平分成两份。
首先，我们明确初始状态：
大桶：0斤
中桶：13斤
小桶：7斤
目标状态是：将酒平分成两份，即每份$\frac{13+7}{2}=10$斤。
接下来，我们按照一种可能的倒酒步骤进行推理：
1. 从中桶往小桶倒酒，直到小桶满或中桶空。由于小桶初始时就有7斤酒，而中桶有13斤，所以我们可以从中桶倒出6斤酒到小桶，使小桶达到满容量7斤（实际上小桶已经满了，所以不再增加），此时中桶剩下7斤酒。
大桶：0斤
中桶：7斤
小桶：7斤（满）
2. 将小桶的酒全部倒入大桶。
大桶：7斤
中桶：7斤
小桶：0斤（空）
3. 从中桶往小桶倒酒，直到小桶满或中桶空。此时中桶有7斤酒，小桶为空，所以我们可以从中桶倒出7斤酒到小桶，使小桶达到满容量7斤，中桶则为空。
大桶：7斤
中桶：0斤（空）
小桶：7斤（满）
4. 将大桶的酒倒入中桶，直到中桶满或大桶空。由于中桶是空的，我们可以将大桶的7斤酒全部倒入中桶，此时大桶为空，中桶有7斤酒。
大桶：0斤（空）
中桶：7斤
小桶：7斤（满）
5. 从中桶往大桶倒酒，直到大桶满或中桶空。由于大桶是空的，而我们需要的是每份10斤酒，所以我们可以先从中桶倒出3斤酒到大桶，使大桶有3斤酒，中桶剩下4斤酒。
大桶：3斤
中桶：4斤
小桶：7斤（满）
6. 将小桶的酒倒入中桶，直到中桶满或小桶空。此时小桶有7斤酒，中桶有4斤酒，我们可以将小桶的酒全部倒入中桶，使中桶达到满容量13斤（但实际上只需要倒入9斤就满了，不过小桶有7斤，倒入后中桶为11斤，还未满，但小桶已经空了），此时中桶有11斤酒，小桶为空。不过由于我们的目标是每份10斤，所以下一步我们需要继续调整。
实际上，在步骤5后，我们应该从中桶倒酒到小桶，使中桶剩下10斤，但小桶的容量只有7斤，所以我们需要另想办法。正确的方法是：将中桶的4斤酒倒入大桶，使大桶有7斤酒，然后再从小桶倒3斤酒到大桶，这样大桶就有10斤酒了。
修正后的步骤6：
将中桶的4斤酒倒入大桶。
大桶：7斤
中桶：0斤
小桶：7斤（满）
从小桶倒3斤酒到大桶。
大桶：10斤
中桶：0斤
小桶：4斤
7. 现在大桶有10斤酒，我们还需要将中桶和小桶的酒也调整到10斤（或者将另外的10斤酒分离出来）。由于中桶是空的，我们可以将小桶的4斤酒倒入中桶，然后再从大桶倒6斤酒到中桶，使中桶也有10斤酒。
从大桶倒6斤酒到中桶。
大桶：4斤
中桶：10斤
小桶：0斤（将小桶的4斤酒倒入中桶后，小桶为空）
（或者，更简洁地：将小桶的4斤酒倒入中桶，得到中桶4斤，小桶0斤；然后直接从大桶倒酒到中桶使中桶满至10斤，大桶相应减少）
最终状态：
大桶：10斤
中桶：10斤
小桶：0斤
至此，我们已经成功地将酒平分成了两份，每份10斤。
【答案】：
使用大桶（19斤）、中桶（13斤）、小桶（7斤）进行以下操作：
1. 从中桶往小桶倒酒，使小桶满（中桶剩7斤，小桶7斤）；
2. 将小桶的酒倒入大桶（大桶7斤，中桶7斤，小桶0斤）；
3. 从中桶往小桶倒酒，使小桶满（中桶0斤，小桶7斤）；
4. 将大桶的酒倒入中桶，直到中桶满或大桶空（大桶0斤，中桶7斤，小桶7斤）；
5. 从中桶往大桶倒酒，直到大桶有3斤（中桶4斤，大桶3斤，小桶7斤）；
6. 将中桶的4斤酒倒入大桶（大桶7斤，中桶0斤，小桶7斤），再从小桶倒3斤酒到大桶（大桶10斤，中桶0斤，小桶4斤）；
7. 将小桶的4斤酒倒入中桶（大桶10斤，中桶4斤，小桶0斤），再从大桶倒6斤酒到中桶（大桶4斤，中桶10斤，小桶0斤）。
最终，大桶和中桶各有10斤酒，成功平分。