《2025年暑假作业甘肃教育出版社高一数学》

7. 在棱长为$1的正方体ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中,点$B_{1}到平面ABC_{1}D_{1}$的距离为$\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$。

答案： $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$

8. 如图,已知底面是正方形的四棱锥,一条侧棱与底面垂直,它的长与底面边长相等,长度均为$1$,那么该棱锥中最长的棱长是$\sqrt{3}$。

答案： $\sqrt { 3 }$

9. 如图,已知四边形$ABCD$是矩形,$PA\perp平面ABCD$,在$\triangle PAB,\triangle PBC,\triangle PCD,\triangle PAD$中,直角三角形的个数为4。

答案： 4

10. 在长方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的六个表面与六个对角面(面$AA_{1}C_{1}C$,面$ABC_{1}D_{1}$,面$ADC_{1}B_{1}$,面$BB_{1}D_{1}D$,面$A_{1}BCD_{1}及面A_{1}B_{1}CD$)所在的平面中,与棱$AA_{1}$平行的平面共有3个。

答案： 3

11. 如图,在四棱锥$P - ABCD$中,$PC\perp底面ABCD$,$ABCD$是直角梯形,$AD\perp DC$,$AB// DC$,$AB = 2AD = 2CD = 2$,点$E在线段PB上且PE= \frac{1}{2}EB$。

(1)证明：直线$PD//平面AEC$；
(2)证明：直线$BC\perp平面PAC$。

答案：
证明：
(1) 连接 BD 交 AC 于点 O，连接 OE，
∵ $AB // DC$，$AB = 2CD$，
∴ $\triangle DOC \backsim \triangle BOA$，即 $\frac { D O } { O B } = \frac { D C } { A B } = \frac { 1 } { 2 }$，
又
∵ $P E = \frac { 1 } { 2 } E B$，
∴ $\frac { D O } { O B } = \frac { P E } { E B } = \frac { 1 } { 2 }$
∴ $PD // OE$
又
∵ $OE \subset$ 面 $AEC$，$PD \not\subset$ 面 $AEC$
∴ $PD //$ 面 $AEC$

(2)
∵ $PC \perp$ 平面 $ABCD$，$BC \subset$ 平面 $ABCD$，
∴ $PC \perp BC$，
又
∵ $AB = 2$，$AD = CD = 1$，$AD \perp DC$，
且 $ABCD$ 是直角梯形，
∴ $AC = BC = \sqrt { 2 }$，即 $A C ^ { 2 } + B C ^ { 2 } = A B ^ { 2 }$，
∴ $AC \perp BC$，
又
∵ $PC \cap AC = C$，
且 $PC$，$AC \subset$ 平面 $PAC$，
∴ $BC \perp$ 平面 $PAC$．