《2025年暑假作业甘肃教育出版社高一数学》

12. 某社区拟建一个活动广场,该广场为四边形区域 ABCD,其中三角形区域 ABC 为老年活动区,其中$∠ACB= 45^{\circ },∠ABC= 60^{\circ },AB= 12\sqrt {2}m$；AD,CD 为鹅卵石小路(不考虑宽度),且$∠ADC= 120^{\circ }$,小路 AD,CD 围成三角形区域 ADC 为休闲餐饮区。

(1)求 AC 的长度；
(2)记鹅卵石小道 AD 与 CD 的长度和为 L,求 L 的最大值。

答案： 解：（1）由正弦定理，得 $ \frac { A B } { \sin 45 ^ { \circ } } = \frac { A C } { \sin 60 ^ { \circ } } $，得 $ A C = 12 \sqrt { 3 } ( \mathrm { m } ) $．（2）在 $ \triangle A D C $ 中，设 $ \angle D A C = \theta $，则$ \angle D C A = 60 ^ { \circ } - \theta $，由正弦定理得 $ \frac { A C } { \sin \angle A D C } = \frac { A D } { \sin \angle A C D } = \frac { C D } { \sin \angle C A D } $，$ A D = 24 \sin ( 60 ^ { \circ } - \theta ) $，$ C D = 24 \sin \theta $，$ \therefore L = A D + C D = 24 \sin ( 60 ^ { \circ } - \theta ) + 24 \sin \theta $，$ = 24 \left( \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \cos \theta + \frac { 1 } { 2 } \sin \theta \right) = 24 \sin ( \theta + 60 ^ { \circ } ) \leq 24 $．因为 $ 0 ^ { \circ } ＜ \theta ＜ 60 ^ { \circ } $，所以当 $ \theta = 30 ^ { \circ } $ 时，$ L $ 取到最大值 $ 24 \mathrm { m } $．