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2025年暑假作业甘肃教育出版社高一数学
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12. 已知棱长为$1的正方体ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中。
(1)证明：$D_{1}A//平面C_{1}BD$；
(2)求三棱锥$B - A_{1}B_{1}C_{1}$的体积。
(1)证明：$D_{1}A//平面C_{1}BD$；
(2)求三棱锥$B - A_{1}B_{1}C_{1}$的体积。
答案：
证明：
(1) 在棱长为 1 的正方体 $ABCD - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ 中，$AB // C _ { 1 } D _ { 1 }$，
且 $AB = C _ { 1 } D _ { 1 }$
所以四边形 $ABC _ { 1 } D _ { 1 }$ 为平行四边形
∴ $A D _ { 1 } // B C _ { 1 }$
又 $B C _ { 1 } \subset$ 平面 $C _ { 1 } B D$，$A D _ { 1 } \not\subset$ 平面 $C _ { 1 } B D$，
∴ $D _ { 1 } A //$ 平面 $C _ { 1 } B D$；
(2) 由正方体易知，三棱锥 $B - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 }$ 的高为 $BB _ { 1 }$，
所以 $V _ { B - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } } = \frac { 1 } { 3 } S _ { \triangle A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } } × B B _ { 1 }$
$= \frac { 1 } { 3 } × \frac { 1 } { 2 } × 1 × 1 × 1 = \frac { 1 } { 6 }$．
(1) 在棱长为 1 的正方体 $ABCD - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ 中，$AB // C _ { 1 } D _ { 1 }$，
且 $AB = C _ { 1 } D _ { 1 }$
所以四边形 $ABC _ { 1 } D _ { 1 }$ 为平行四边形
∴ $A D _ { 1 } // B C _ { 1 }$
又 $B C _ { 1 } \subset$ 平面 $C _ { 1 } B D$，$A D _ { 1 } \not\subset$ 平面 $C _ { 1 } B D$，
∴ $D _ { 1 } A //$ 平面 $C _ { 1 } B D$；
(2) 由正方体易知，三棱锥 $B - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 }$ 的高为 $BB _ { 1 }$，
所以 $V _ { B - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } } = \frac { 1 } { 3 } S _ { \triangle A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } } × B B _ { 1 }$
$= \frac { 1 } { 3 } × \frac { 1 } { 2 } × 1 × 1 × 1 = \frac { 1 } { 6 }$．
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