《2025年暑假作业甘肃教育出版社高一数学》

5. 复数 $ (1 + i)^{2}(2 + 3\text{i}) $ 的值为(D)
A.$6 - 4\text{i}$
B.$-6 - 4\text{i}$
C.$6 + 4\text{i}$
D.$-6 + 4\text{i}$

答案： D

6. “$ \frac{2}{3} \lt m \lt \frac{3}{4} $”是“复数 $ z = (3m - 2) + (m - 1)\text{i} $ 在复平面内对应的点位于第四象限”的(A)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： A

7. 已知 $ z = 2 + \text{i} $,则 $ \overline{z} $2 - i.

答案： 2 - i

8. 如图所示,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为 $ 1 $,点 $ A,B $ 对应的复数分别是 $ z_{1},z_{2} $,则 $ z_{1} + z_{2} $______.

答案： 2

9. 已知复数 $ z = (a - \text{i})^{2}\cdot\text{i} $,若 $ z \lt 0 $,则实数 $ a $ 的值为-1.

答案： -1

10. 化简：$ 1 + \text{i} + \text{i}^{2} + \text{i}^{3} + … + \text{i}^{2022} $i.

答案： i

11. 已知复数 $ z_{1} = m - 2\text{i} $,复数 $ z_{2} = 1 - n\text{i} $,其中 $\text{i}$ 是虚数单位,$m,n$ 为实数.
(1) 若 $ n = 1 $,$ z_{1} $ 为纯虚数,求 $ |z_{1} + z_{2}| $ 的值；
(2) 若 $ z_{1} = (\overline{z_{2}})^{2} $,求 $ m,n $ 的值.

答案： 11. 解：
(1)因为 $z_1 = m - 2i$ 为纯虚数，所以 $m = 0$。又 $n = 1$，所以 $z_1 = -2i$，$z_2 = 1 - i$，从而 $z_1 + z_2 = 1 - 3i$。因此 $|z_1 + z_2| = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{10}$。
(2)因为 $z_1 = (\overline{z_2})^2$，所以 $m - 2i = (1 + ni)^2$，即 $m - 2i = (1 - n^2) + 2ni$。又 $m$，$n$ 为实数，所以 $\begin{cases} m = 1 - n^2, \\ -2 = 2n, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} m = 0, \\ n = -1. \end{cases}$