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2025年暑假作业甘肃教育出版社高一数学
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12. 如图,四棱锥$P - ABCD$的底面是菱形,且$PA \perp面ABCD$,$E$,$F分别是棱PB$,$PC$的中点。
求证：(1)$EF //平面PAD$；
(2)面$PBD \perp面PAC$。
求证：(1)$EF //平面PAD$；
(2)面$PBD \perp面PAC$。
答案：
12. 证明:
(1)由 E,F 分别是棱 PB,PC 的中点.则 $EF // BC$ 且 $EF = \frac{1}{2}BC$,又 $\because$ 底面 ABCD 是菱形,$\therefore BC // AD,EF // AD$,又 $\because EF \not\subset$ 平面 PAD,$AD \subset$ 平面 PAD,$\therefore EF //$ 平面 PAD.
(2)由 $PA \perp$ 面 ABCD,AC,BD 是底面 ABCD 的对角线,$\therefore PA \perp BD$,四棱锥 P - ABCD 的底面是菱形,$\therefore AC \perp BD$,$\because PA \cap AC = A$,且 $PA,AC \subset$ 平面 PAC,$\therefore BD \perp$ 平面 PAC,又因为 $BD \subset$ 平面 PBD,所以面 $PBD \perp$ 面 PAC.
(1)由 E,F 分别是棱 PB,PC 的中点.则 $EF // BC$ 且 $EF = \frac{1}{2}BC$,又 $\because$ 底面 ABCD 是菱形,$\therefore BC // AD,EF // AD$,又 $\because EF \not\subset$ 平面 PAD,$AD \subset$ 平面 PAD,$\therefore EF //$ 平面 PAD.
(2)由 $PA \perp$ 面 ABCD,AC,BD 是底面 ABCD 的对角线,$\therefore PA \perp BD$,四棱锥 P - ABCD 的底面是菱形,$\therefore AC \perp BD$,$\because PA \cap AC = A$,且 $PA,AC \subset$ 平面 PAC,$\therefore BD \perp$ 平面 PAC,又因为 $BD \subset$ 平面 PBD,所以面 $PBD \perp$ 面 PAC.
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