《2025年53全优卷六年级数学上册人教版》

3. 生活中许多现象可以提炼成数学问题去研究，我们一起去探索图形运动产生的数学奥秘吧！如下图，直线上的长方形长8 cm，宽4 cm，圆的直径为4 cm。圆的位置不变，长方形从图中位置开始以1厘米/秒的速度向右平移。

(1)当长方形运动到第6秒时，长方形与圆重叠的面积是(12.56)cm²。(3分)
(2)当长方形刚好完全穿过并离开圆时，长方形运动了(14)秒。(3分)
(3)当长方形运动到第几秒时，长方形与圆重叠的面积是6.28 cm²？(6分)

答案： 3.
(1)12.56
(2)14
(3)$ 3.14× (4÷ 2)^2=12.56(cm^2) $$ 6.28÷ 12.56=\frac{1}{2} $①长方形的最右侧恰好到达12cm处。$ (12-8)÷ 1=4(秒) $②长方形的最左侧恰好到达12cm处。$ (12-0)÷ 1=12(秒) $答:当长方形运动到第4秒或第12秒时,长方形与圆重叠的面积是$ 6.28\ cm^2 $。

4. 元元在学习了圆环后，想到一个问题：圆的半径决定圆的大小，那圆环的环宽能决定圆环的大小吗？他画了3个圆环，下面是他的探究过程。

(1)请将元元的探究过程补充完整。(6分)
(2)元元发现：圆环越宽，圆环的面积越大。你同意吗？请说明理由。(5分)

答案： 4.
(1)$ S_{圆环}=3.14× 5^2-3.14× 4^2=28.26(cm^2) $$ S_{圆环}=3.14× 7^2-3.14× 5^2=75.36(cm^2) $$ S_{圆环}=3.14× 10^2-3.14× 7^2=160.14(cm^2) $
(2)答:我不同意。因为当外圆半径是20cm、内圆半径是19cm时,$ S_{圆环}=3.14× 20^2-3.14× 19^2=122.46(cm^2) $,环宽为$ 20-19=1(cm) $。因为元元所画的第2个圆环的环宽为$ 7-5=2(cm) $,面积为$ 75.36\ cm^2 $,$ 2＞1 $,但$ 75.36＜122.46 $,所以我不同意。(理由合理即可)

5. 如图，有一个长8 m、宽5 m的长方形小院子，墙外是草地，用4 m长的绳子拴着一只小羊。现在打算将小羊拴在A点或B点，若想让小羊吃到草的面积更大一些，则应该拴在哪个位置？两个位置的面积相差多少平方米？(7分)

答案： 5. 拴在A点:吃到草的面积是$ \frac{3}{4} $个半径是4m的圆。$ 3.14× 4^2× \frac{3}{4}=37.68(m^2) $拴在B点:吃到草的面积是$ \frac{1}{2} $个半径是4m的圆和$ \frac{1}{4} $个半径是$ (4-2)m $的圆。$ 3.14× 4^2× \frac{1}{2}+3.14× (4-2)^2× \frac{1}{4}=28.26(m^2) $$ 37.68＞28.26 $$ 37.68-28.26=9.42(m^2) $答:应该拴在A点,两个位置的面积相差$ 9.42\ m^2 $。