《2025年启东中学作业本七年级数学上册苏科版徐州专版》

1. 我们平常用的是十进制,如$1967= 1×10^{3}+9×10^{2}+6×10^{1}+7$,表示十进制的数要用10个数码：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9。在计算机中用的是二进制,只有两个数码：0,1.如二进制中$111= 1×2^{2}+1×2^{1}+1$,相当于十进制中的7.又如$11011= 1×2^{4}+1×2^{3}+0×2^{2}+1×2^{1}+1$,相当于十进制中的27.那么二进制中的1011相当于十进制中的(C)
A.9
B.10
C.11
D.12

答案： C 点拨:$1011=1×2^{3}+0×2^{2}+1×2^{1}+1=11.$

2. 求$3^{1}+3^{2}+3^{3}+3^{4}+3^{5}+3^{6}$的值.
可以设$S= 3^{1}+3^{2}+3^{3}+3^{4}+3^{5}+3^{6}$, ①
则$3S= 3^{2}+3^{3}+3^{4}+3^{5}+3^{6}+3^{7}$. ②
②-①,得$3S - S = 3^{7} - 3^{1}$,
所以$2S = 3^{7} - 3$,即$S= \frac{3^{7}-3}{2}$.
所以$3^{1}+3^{2}+3^{3}+3^{4}+3^{5}+3^{6}= \frac{3^{7}-3}{2}$.
仿照以上推理,计算$5^{1}+5^{2}+5^{3}+5^{4}+5^{5}+…+5^{2025}$的值.

答案： 解:设$S=5^{1}+5^{2}+5^{3}+5^{4}+5^{5}+\cdots +5^{2025}$, ①
则$5S=5^{2}+5^{3}+5^{4}+5^{5}+\cdots +5^{2026}$, ②
②-①,得$4S=5^{2026}-5$,则$S=\frac {5^{2026}-5}{4}.$