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1. 已知直线AB与CD相交于点O。
(1)如图①,若∠AOM = 90°,OC平分∠AOM,则∠AOD = ______
(2)如图②,若∠AOM = 90°,∠BOC = 4∠BON,OM平分∠CON,求∠MON的度数；
(3)如图③,若∠AOM = α,∠BOC = 4∠BON,OM平分∠CON,求∠MON的度数。(用含α的式子表示)
(1)如图①,若∠AOM = 90°,OC平分∠AOM,则∠AOD = ______
135°
；(2)如图②,若∠AOM = 90°,∠BOC = 4∠BON,OM平分∠CON,求∠MON的度数；
解:因为∠BOC=4∠BON,所以设∠BON=x°,则∠BOC=4x°,
所以∠CON=∠COB-∠BON=4x°-x°=3x°.
因为 OM 平分∠CON,
所以∠COM=∠MON=$\frac{1}{2}$∠CON=$\frac{3}{2}$x°.
因为∠BOM=$\frac{3}{2}$x°+x°=90°,所以x=36,
所以∠MON=$\frac{3}{2}$x°=$\frac{3}{2}$×36°=54°.
所以∠CON=∠COB-∠BON=4x°-x°=3x°.
因为 OM 平分∠CON,
所以∠COM=∠MON=$\frac{1}{2}$∠CON=$\frac{3}{2}$x°.
因为∠BOM=$\frac{3}{2}$x°+x°=90°,所以x=36,
所以∠MON=$\frac{3}{2}$x°=$\frac{3}{2}$×36°=54°.
(3)如图③,若∠AOM = α,∠BOC = 4∠BON,OM平分∠CON,求∠MON的度数。(用含α的式子表示)
解:因为∠BOC=4∠BON,
所以设∠BON=β,则∠BOC=4β,
所以∠CON=∠COB-∠BON=4β-β=3β.
因为 OM 平分∠CON,
所以∠COM=∠MON=$\frac{1}{2}$∠CON=$\frac{3}{2}$β.
因为∠BOM=$\frac{3}{2}$β+β=180°-α,
所以β=$\frac{360°-2α}{5}$,
所以∠MON=$\frac{3}{2}$×$\frac{360°-2α}{5}$=$\frac{540°-3α}{5}$.
所以设∠BON=β,则∠BOC=4β,
所以∠CON=∠COB-∠BON=4β-β=3β.
因为 OM 平分∠CON,
所以∠COM=∠MON=$\frac{1}{2}$∠CON=$\frac{3}{2}$β.
因为∠BOM=$\frac{3}{2}$β+β=180°-α,
所以β=$\frac{360°-2α}{5}$,
所以∠MON=$\frac{3}{2}$×$\frac{360°-2α}{5}$=$\frac{540°-3α}{5}$.
答案：
1.
(1)135°
(2)解:因为∠BOC=4∠BON,所以设∠BON=x°,则∠BOC=4x°,
所以∠CON=∠COB-∠BON=4x°-x°=3x°.
因为 OM 平分∠CON,
所以∠COM=∠MON=$\frac{1}{2}$∠CON=$\frac{3}{2}$x°.
因为∠BOM=$\frac{3}{2}$x°+x°=90°,所以x=36,
所以∠MON=$\frac{3}{2}$x°=$\frac{3}{2}$×36°=54°.
(3)解:因为∠BOC=4∠BON,
所以设∠BON=β,则∠BOC=4β,
所以∠CON=∠COB-∠BON=4β-β=3β.
因为 OM 平分∠CON,
所以∠COM=∠MON=$\frac{1}{2}$∠CON=$\frac{3}{2}$β.
因为∠BOM=$\frac{3}{2}$β+β=180°-α,
所以β=$\frac{360°-2α}{5}$,
所以∠MON=$\frac{3}{2}$×$\frac{360°-2α}{5}$=$\frac{540°-3α}{5}$.
(1)135°
(2)解:因为∠BOC=4∠BON,所以设∠BON=x°,则∠BOC=4x°,
所以∠CON=∠COB-∠BON=4x°-x°=3x°.
因为 OM 平分∠CON,
所以∠COM=∠MON=$\frac{1}{2}$∠CON=$\frac{3}{2}$x°.
因为∠BOM=$\frac{3}{2}$x°+x°=90°,所以x=36,
所以∠MON=$\frac{3}{2}$x°=$\frac{3}{2}$×36°=54°.
(3)解:因为∠BOC=4∠BON,
所以设∠BON=β,则∠BOC=4β,
所以∠CON=∠COB-∠BON=4β-β=3β.
因为 OM 平分∠CON,
所以∠COM=∠MON=$\frac{1}{2}$∠CON=$\frac{3}{2}$β.
因为∠BOM=$\frac{3}{2}$β+β=180°-α,
所以β=$\frac{360°-2α}{5}$,
所以∠MON=$\frac{3}{2}$×$\frac{360°-2α}{5}$=$\frac{540°-3α}{5}$.
2. 已知直线AB和CD交于点O,∠AOC的度数为x,∠BOE = 90°,OF平分∠AOD。
(1)当x = 20°时,∠EOC = ______°,∠FOD = ______°；
(2)当x = 60°时,射线OE'从OE开始以每秒10°的速度绕点O逆时针转动,同时射线OF'从OF开始以每秒8°的速度绕点O顺时针转动,当射线OE'转动一周时射线OF'也停止转动,则至少经过多少秒射线OE'与射线OF'重合？
(3)在(2)的条件下,射线OE'在转动一周的过程中,当∠E'OF' = 90°时,请直接写出射线OE'转动的时间。
(1)
(2)
(3)
(1)当x = 20°时,∠EOC = ______°,∠FOD = ______°；
(2)当x = 60°时,射线OE'从OE开始以每秒10°的速度绕点O逆时针转动,同时射线OF'从OF开始以每秒8°的速度绕点O顺时针转动,当射线OE'转动一周时射线OF'也停止转动,则至少经过多少秒射线OE'与射线OF'重合？
(3)在(2)的条件下,射线OE'在转动一周的过程中,当∠E'OF' = 90°时,请直接写出射线OE'转动的时间。
(1)
70
80
(2)
解:当x=60°时,因为∠AOC=x=60°,所以∠AOD=180°-∠AOC=180°-60°=120°.因为 OF 平分∠AOD,所以∠AOF=$\frac{1}{2}$∠AOD=60°,所以∠EOF=∠AOE+∠AOF=90°+60°=150°.设至少经过 t s 射线 OE'与射线 OF'重合,由题意,得10t+8t=150,解得t=$\frac{25}{3}$.答:至少经过$\frac{25}{3}$s 射线 OE'与射线 OF'重合.
(3)
$\frac{10}{3}$s 或$\frac{40}{3}$s 或$\frac{70}{3}$s 或$\frac{100}{3}$s
答案：
2.
(1)70 80
(2)解:当x=60°时,因为∠AOC=x=60°,
所以∠AOD=180°-∠AOC=180°-60°=120°.
因为 OF 平分∠AOD,所以∠AOF=$\frac{1}{2}$∠AOD=60°,
所以∠EOF=∠AOE+∠AOF=90°+60°=150°.
设至少经过 t s 射线 OE'与射线 OF'重合,
由题意,得10t+8t=150,解得t=$\frac{25}{3}$.
答:至少经过$\frac{25}{3}$s 射线 OE'与射线 OF'重合.
(3)解:设射线 OE'转动的时间为 y s,由题意,得10y+90+8y=150或10y+8y=150+90或360-10y=8y-150+90或360-10y+360-8y+90=360-150,
解得y=$\frac{10}{3}$或y=$\frac{40}{3}$或y=$\frac{70}{3}$或y=$\frac{100}{3}$.
答:射线 OE'转动的时间为$\frac{10}{3}$s 或$\frac{40}{3}$s 或$\frac{70}{3}$s 或$\frac{100}{3}$s.
(1)70 80
(2)解:当x=60°时,因为∠AOC=x=60°,
所以∠AOD=180°-∠AOC=180°-60°=120°.
因为 OF 平分∠AOD,所以∠AOF=$\frac{1}{2}$∠AOD=60°,
所以∠EOF=∠AOE+∠AOF=90°+60°=150°.
设至少经过 t s 射线 OE'与射线 OF'重合,
由题意,得10t+8t=150,解得t=$\frac{25}{3}$.
答:至少经过$\frac{25}{3}$s 射线 OE'与射线 OF'重合.
(3)解:设射线 OE'转动的时间为 y s,由题意,得10y+90+8y=150或10y+8y=150+90或360-10y=8y-150+90或360-10y+360-8y+90=360-150,
解得y=$\frac{10}{3}$或y=$\frac{40}{3}$或y=$\frac{70}{3}$或y=$\frac{100}{3}$.
答:射线 OE'转动的时间为$\frac{10}{3}$s 或$\frac{40}{3}$s 或$\frac{70}{3}$s 或$\frac{100}{3}$s.
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