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1. 从 $ n $ 个不同元素中取出 $ m(m \leq n) $ 个元素的所有组合的个数, 叫作从 $ n $ 个不同元素中取出 $ m $ 个元素的组合数, 用符号 $ C_{n}^{m} $ 表示, $ C_{n}^{m} = \frac{n(n - 1)(n - 2) …\cdot \cdot (n - m + 1)}{m(m - 1) …\cdot \cdot 1}(n \geq m, n, m $ 均为正整数). 例如, $ C_{5}^{2} = \frac{5 × 4}{2 × 1}, C_{8}^{3} = \frac{8 × 7 × 6}{3 × 2 × 1} $, 则 $ C_{9}^{4} + C_{9}^{5} = $ (
A.$ C_{9}^{6} $
B.$ C_{10}^{4} $
C.$ C_{10}^{5} $
D.$ C_{10}^{6} $
C
)A.$ C_{9}^{6} $
B.$ C_{10}^{4} $
C.$ C_{10}^{5} $
D.$ C_{10}^{6} $
答案：
C 点拨:因为$\text{C}_{n}^{m}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdot\ \cdots\ \cdot(n-m+1)}{m(m-1)\cdot\ \cdots\ \cdot1}$,所以$\text{C}_{9}^{4}+\text{C}_{9}^{5}=\frac{9×8×7×6}{4×3×2×1}+\frac{9×8×7×6×5}{5×4×3×2×1}=\frac{5×9×8×7×6}{5×4×3×2×1}+\frac{9×8×7×6×5}{5×4×3×2×1}=2×\frac{9×8×7×6×5}{5×4×3×2×1}=\frac{10×9×8×7×6}{5×4×3×2×1}=\text{C}_{10}^{5}$.
2. 一个四位数 $ m = 1000a + 100b + 10c + d $ (其中 $ 1 \leq a, b, c, d \leq 9 $, 且均为整数), 若 $ a + b = k(c - d) $, 且 $ k $ 为整数, 则称 $ m $ 为“ $ k $ 型数”. 例如, $ m = 7241 $, 因为 $ 7 + 2 = 3 × (4 - 1) $, 所以 7241 为“3 型数”; $ m = 4635 $, 因为 $ 4 + 6 = -5 × (3 - 5) $, 所以 4635 为“-5 型数”. 若四位数 $ m $ 是“3 型数”, $ m - 3 $ 是“-1 型数”, 将 $ m $ 的百位数字与十位数字交换位置, 得到一个新的四位数 $ n $, $ n $ 也是“3 型数”, 则满足条件的最小四位数 $ m $ 的值为______
2442
.
答案：
2442 点拨:因为$m=1000a+100b+10c+d$为“3型数”，所以$a+b=3(c-d)$①.因为$n=1000a+100c+10b+d$为“3型数”，所以$a+c=3(b-d)$②,由①②得$b=c$.因为$m-3$是“-1型数”，
(1)若$d\geqslant3$,则$m-3$不产生错位，所以$m-3=1000a+100b+10c+(d-3)$是“-1型数”，所以$a+b=-[c-(d-3)]$③,联立①③,得$3(c-d)=-[c-(d-3)]$，所以$4c=4d-3$,即$c=d-\frac{3}{4}$.因为$c,d$都是整数,所以不符合题意,舍去.
(2)若$d＜3$,则$m-3$产生错位，所以$m-3=1000a+100b+10(c-1)+(d+7)$是“-1型数”，所以$a+b=-[(c-1)-(d+7)]$，即$a+b=-(c-d-8)$④,联立①④,得$3(c-d)=-(c-d-8)$,所以$c=d+2$,将$c=d+2$代入$a+b=3(c-d)$,得$a+b=6$.又因为$b=c$,所以$a=6-b=6-c=6-(d+2)=4-d$.因为$d＜3$,所以$d$最大为2,$a$最小为2，此时$c=d+2=4$,$b=c=4$,所以$m$最小为2442.
(1)若$d\geqslant3$,则$m-3$不产生错位，所以$m-3=1000a+100b+10c+(d-3)$是“-1型数”，所以$a+b=-[c-(d-3)]$③,联立①③,得$3(c-d)=-[c-(d-3)]$，所以$4c=4d-3$,即$c=d-\frac{3}{4}$.因为$c,d$都是整数,所以不符合题意,舍去.
(2)若$d＜3$,则$m-3$产生错位，所以$m-3=1000a+100b+10(c-1)+(d+7)$是“-1型数”，所以$a+b=-[(c-1)-(d+7)]$，即$a+b=-(c-d-8)$④,联立①④,得$3(c-d)=-(c-d-8)$,所以$c=d+2$,将$c=d+2$代入$a+b=3(c-d)$,得$a+b=6$.又因为$b=c$,所以$a=6-b=6-c=6-(d+2)=4-d$.因为$d＜3$,所以$d$最大为2,$a$最小为2，此时$c=d+2=4$,$b=c=4$,所以$m$最小为2442.
3. 我们把按一定规律排列的一列数称为数列, 若对于一个数列中依次排列的相邻的三个数 $ m, n, p $, 总满足 $ p = m^{2} - n $, 则称这个数列为理想数列.
(1) 若数列 $ 2, -1, a, -4, b … … $ 是理想数列, 则 $ a = $
(2) 若数列 $ x, 3x, 4 … … $ 是理想数列, 求代数式 $ \frac{2}{3}x^{2} - 2x + 3 $ 的值;
(3) 若数列 $ m, n, p, q … … $ 是理想数列, 且 $ p - \frac{1}{2}q = 2 $, 求代数式 $ n(n^{2} - 3m^{2} + 4) + 9(m^{2} - n) + 2025 $ 的值.
(1) 若数列 $ 2, -1, a, -4, b … … $ 是理想数列, 则 $ a = $
5
, $ b = $29
;(2) 若数列 $ x, 3x, 4 … … $ 是理想数列, 求代数式 $ \frac{2}{3}x^{2} - 2x + 3 $ 的值;
解:根据题中的新定义,得$4=x^{2}-3x$,即$x^{2}-3x=4$,所以$\frac{2}{3}x^{2}-2x+3=\frac{2}{3}(x^{2}-3x)+3=\frac{2}{3}×4+3=\frac{8}{3}+3=\frac{17}{3}$.
(3) 若数列 $ m, n, p, q … … $ 是理想数列, 且 $ p - \frac{1}{2}q = 2 $, 求代数式 $ n(n^{2} - 3m^{2} + 4) + 9(m^{2} - n) + 2025 $ 的值.
解:根据题意,得$p=m^{2}-n$,$q=n^{2}-p$，所以$q=n^{2}-m^{2}+n$.因为$p-\frac{1}{2}q=2$,所以$m^{2}-n-\frac{1}{2}(n^{2}-m^{2}+n)=2$，即$n^{2}-3m^{2}+4=-3n$或$n^{2}-3m^{2}+3n=-4$，所以$n(n^{2}-3m^{2}+4)+9(m^{2}-n)+2025=n(-3n)+9(m^{2}-n)+2025=-3n^{2}+9m^{2}-9n+2025=-3(n^{2}-3m^{2}+3n)+2025=-3×(-4)+2025=12+2025=2037$.
答案：
(1)5 29
(2)解:根据题中的新定义,得$4=x^{2}-3x$,即$x^{2}-3x=4$,所以$\frac{2}{3}x^{2}-2x+3=\frac{2}{3}(x^{2}-3x)+3=\frac{2}{3}×4+3=\frac{8}{3}+3=\frac{17}{3}$.
(3)解:根据题意,得$p=m^{2}-n$,$q=n^{2}-p$，所以$q=n^{2}-m^{2}+n$.因为$p-\frac{1}{2}q=2$,所以$m^{2}-n-\frac{1}{2}(n^{2}-m^{2}+n)=2$，即$n^{2}-3m^{2}+4=-3n$或$n^{2}-3m^{2}+3n=-4$，所以$n(n^{2}-3m^{2}+4)+9(m^{2}-n)+2025=n(-3n)+9(m^{2}-n)+2025=-3n^{2}+9m^{2}-9n+2025=-3(n^{2}-3m^{2}+3n)+2025=-3×(-4)+2025=12+2025=2037$.
(1)5 29
(2)解:根据题中的新定义,得$4=x^{2}-3x$,即$x^{2}-3x=4$,所以$\frac{2}{3}x^{2}-2x+3=\frac{2}{3}(x^{2}-3x)+3=\frac{2}{3}×4+3=\frac{8}{3}+3=\frac{17}{3}$.
(3)解:根据题意,得$p=m^{2}-n$,$q=n^{2}-p$，所以$q=n^{2}-m^{2}+n$.因为$p-\frac{1}{2}q=2$,所以$m^{2}-n-\frac{1}{2}(n^{2}-m^{2}+n)=2$，即$n^{2}-3m^{2}+4=-3n$或$n^{2}-3m^{2}+3n=-4$，所以$n(n^{2}-3m^{2}+4)+9(m^{2}-n)+2025=n(-3n)+9(m^{2}-n)+2025=-3n^{2}+9m^{2}-9n+2025=-3(n^{2}-3m^{2}+3n)+2025=-3×(-4)+2025=12+2025=2037$.
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