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1. 若实数$a$,$b满足a^{2}-8a+5= 0$,$b^{2}-8b+5= 0$,则$\frac {b-1}{a-1}+\frac {a-1}{b-1}$的值是 (
A.-20
B.2
C.2或-20
D.$\frac {1}{2}$
C
)A.-20
B.2
C.2或-20
D.$\frac {1}{2}$
答案：
1.C 点拨:①当a=b时，$\frac{b-1}{a-1}+\frac{a-1}{b-1}=1+1=2$;
②当a≠b时，
∵实数a,b满足$a^{2}-8a+5=0$,$b^{2}-8b+5=0$,
∴a,b是方程$x^{2}-8x+5=0$的两个不相等的实数根，
∴$a+b=8$,$ab=5$.
∴$\frac{b-1}{a-1}+\frac{a-1}{b-1}=\frac{(b-1)^{2}+(a-1)^{2}}{(a-1)(b-1)}=$
$\frac{(a+b)^{2}-2ab-2(a+b)+2}{ab-(a+b)+1}=\frac{8^{2}-10-16+2}{5-8+1}=-20$.
∴$\frac{b-1}{a-1}+\frac{a-1}{b-1}$的值为2或-20.
②当a≠b时，
∵实数a,b满足$a^{2}-8a+5=0$,$b^{2}-8b+5=0$,
∴a,b是方程$x^{2}-8x+5=0$的两个不相等的实数根，
∴$a+b=8$,$ab=5$.
∴$\frac{b-1}{a-1}+\frac{a-1}{b-1}=\frac{(b-1)^{2}+(a-1)^{2}}{(a-1)(b-1)}=$
$\frac{(a+b)^{2}-2ab-2(a+b)+2}{ab-(a+b)+1}=\frac{8^{2}-10-16+2}{5-8+1}=-20$.
∴$\frac{b-1}{a-1}+\frac{a-1}{b-1}$的值为2或-20.
2. 如果$m$,$n是一元二次方程x^{2}+x= 3$的两个实数根,求多项式$m^{3}+4n-mn+2025$的值.
答案：
2.解:
∵m,n是一元二次方程$x^{2}+x=3$的两个实数根，
∴$m^{2}+m-3=0$,$m+n=-1$,$mn=-3$,
∴$m^{2}=-m+3$,
∴$m^{3}+4n-mn+2025=m(-m+3)+4n-mn+2025=$
$-m^{2}+3m+4n-mn+2025=m-3+3m+4n-mn+$
$2025=4m-3+4n-mn+2025=4(m+n)-mn+2022$,
∴原式$=4×(-1)-(-3)+2022=-4+3+2022=2021$.
∵m,n是一元二次方程$x^{2}+x=3$的两个实数根，
∴$m^{2}+m-3=0$,$m+n=-1$,$mn=-3$,
∴$m^{2}=-m+3$,
∴$m^{3}+4n-mn+2025=m(-m+3)+4n-mn+2025=$
$-m^{2}+3m+4n-mn+2025=m-3+3m+4n-mn+$
$2025=4m-3+4n-mn+2025=4(m+n)-mn+2022$,
∴原式$=4×(-1)-(-3)+2022=-4+3+2022=2021$.
3. 已知实数$m$,$n满足3m^{2}-7m-2= 0$,$2n^{2}+7n-3= 0$,且$mn≠1$,求$\frac {mn+1}{mn+m+1}$的值.
答案：
3.解:方程$2n^{2}+7n-3=0$的两边同时除以$-n^{2}$,得
$3(\frac{1}{n})^{2}-7\frac{1}{n}-2=0$,
∵实数m满足$3m^{2}-7m-2=0$,且$mn≠1$,
∴可将m,$\frac{1}{n}$看作一元二次方程$3x^{2}-7x-2=0$的两个不相等的实数根，
∴$m+\frac{1}{n}=\frac{7}{3}$,$\frac{m}{n}=-\frac{2}{3}$,
∴$\frac{mn+1}{mn+m+1}=\frac{m+\frac{1}{n}}{m+\frac{1}{n}+\frac{m}{n}}=\frac{\frac{7}{3}}{\frac{7}{3}-\frac{2}{3}}=\frac{7}{5}$.
$3(\frac{1}{n})^{2}-7\frac{1}{n}-2=0$,
∵实数m满足$3m^{2}-7m-2=0$,且$mn≠1$,
∴可将m,$\frac{1}{n}$看作一元二次方程$3x^{2}-7x-2=0$的两个不相等的实数根，
∴$m+\frac{1}{n}=\frac{7}{3}$,$\frac{m}{n}=-\frac{2}{3}$,
∴$\frac{mn+1}{mn+m+1}=\frac{m+\frac{1}{n}}{m+\frac{1}{n}+\frac{m}{n}}=\frac{\frac{7}{3}}{\frac{7}{3}-\frac{2}{3}}=\frac{7}{5}$.
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