《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

2. 如图,已知正方形ABCD和直角△ABE,∠AEB= 90°,将△ABE绕点O旋转180°得到△CDF。
(1)在图中画出点O和△CDF,并简要说明作图过程；
(2)若AE= 12,AB= 13,求EF的长。

答案：
解:
(1)如答图，连接AC,BD交于点O,连接EO并延长到点F,使OF = OE,连接DF,CF。
(2)如答图，过点O作OG⊥OE,交EB的延长线于点G。
∵四边形ABCD为正方形，
∴OA = OB,∠AOB = ∠EOG = 90°,
∴∠AOE = ∠BOG。在四边形AEBO中,∠AEB = ∠AOB = 90°，
∴∠EAO + ∠EBO = 180°,又∠EBO + ∠GBO = 180°，
∴∠GBO = ∠EAO。
在△EAO和△GBO中,{∠EAO = ∠GBO,
{OA = OB,
{∠AOE = ∠BOG,
∴△EAO≌△GBO(ASA),
∴AE = BG,OE = OG。
∴△GOE为等腰直角三角形。
∴OE = $\frac{\sqrt{2}}{2}$EG = $\frac{\sqrt{2}}{2}$(EB + BG) = $\frac{\sqrt{2}}{2}$(EB + AE)。
∵AE = 12,AB = 13,
∴EB = 5,
∴EB + AE = 17。
∴OE = $\frac{17\sqrt{2}}{2}$,
∴EF = 17$\sqrt{2}$。

3. 如图,A,B为x轴上的两点,以AB为边作矩形ABCD,且点A,C的坐标分别为(-8,0),(-2,4),现将矩形ABCD向右平移4个单位长度后,再向上平移$\frac{a}{2}$个单位长度得到矩形EFGH。
(1)若a= 4,请求出点H的坐标；
(2)若矩形ABCD与矩形EFGH关于点P成中心对称,且点P的坐标为(-3,m),求m的值。(用含a的式子表示)

答案：
解:
(1)
∵点A(-8,0)向右平移4个单位长度后，再向上平移$\frac{a}{2}$ = 2个单位长度得到点E，
∴点E的坐标为(-4,2)。
∵点C(-2,4)向右平移4个单位长度后，再向上平移$\frac{a}{2}$ = 2个单位长度得到点G，
∴点G的坐标为(2,6),
∴点H的坐标为(-4,6)。
(2)连接AG,DF交于点P,如答图。
由题意可得G(2,4 + $\frac{a}{2}$),
∵A(-8,0)，
∴AG的中点P的坐标为(-3,2 + $\frac{a}{4}$)。
∵点P的坐标为(-3,m),
∴m = 2 + $\frac{a}{4}$。