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1. 若关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+2= 0(a≠0)$有一个根为x= 2024,则关于x的一元二次方程$a(x-1)^{2}+bx-b= -2(a≠0)$必有一个根为(
A.$x= 2022$
B.$x= 2023$
C.$x= 2024$
D.$x= 2025$
D
)A.$x= 2022$
B.$x= 2023$
C.$x= 2024$
D.$x= 2025$
答案：
1.D 点拨:一元二次方程$a(x-1)^{2}+bx-b=-2$可变形为$a(x-1)^{2}+b(x-1)+2=0$,设$t=x-1$,则$at^{2}+bt+2=0$,而关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+2=0(a≠0)$有一个根为$x=2024$,所以$at^{2}+bt+2=0$有一个根为$t=2024$,则$x-1=2024$,解得$x=2025$,所以一元二次方程$a(x-1)^{2}+bx-b=-2$必有一个根为$x=2025$.故选D.
2. 已知a是方程$x^{2}-2024x+4= 0$的一个解,求$a^{2}-2023a+\frac {8096}{a^{2}+4}+7$的值。
答案：
解:由题意知$a^{2}-2024a+4=0$,
$\therefore a^{2}=2024a-4,a^{2}+4=2024a$,
$\therefore$原式$=2024a-4-2023a+\frac {8096}{2024a}+7=a-4+\frac {4}{a}+7=\frac {a^{2}+4}{a}+3=\frac {2024a}{a}+3=2027$.
$\therefore a^{2}=2024a-4,a^{2}+4=2024a$,
$\therefore$原式$=2024a-4-2023a+\frac {8096}{2024a}+7=a-4+\frac {4}{a}+7=\frac {a^{2}+4}{a}+3=\frac {2024a}{a}+3=2027$.
3. 阅读下列材料：
问题：已知方程$x^{2}+x-1= 0$,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍。
解：设所求方程的根为y,则$y= 2x$,所以$x= \frac {y}{2}$,把$x= \frac {y}{2}$,代入已知方程,得$(\frac {y}{2})^{2}+\frac {y}{2}-1= 0$。化简,得$y^{2}+2y-4= 0$,故所求方程为$y^{2}+2y-4= 0$。
这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”。
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求：把所求方程化为一般形式)：
(1)已知方程$x^{2}+2x-1= 0$,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数,则所求方程为______；
(2)已知关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$有两个不等于零的实数根,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的倒数。
解:设所求方程的根为y,则$y=\frac {1}{x}(x≠0)$,
$\therefore x=\frac {1}{y}(y≠0)$,把$x=\frac {1}{y}$代入已知方程$ax^{2}+bx+c=0$,得$a(\frac {1}{y})^{2}+b(\frac {1}{y})+c=0$,
$\therefore cy^{2}+by+a=0$.
$\because$关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$有两个不等于零的实数根,$\therefore c≠0$,
$\therefore$所求方程为$cy^{2}+by+a=0(c≠0)$.
问题：已知方程$x^{2}+x-1= 0$,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍。
解：设所求方程的根为y,则$y= 2x$,所以$x= \frac {y}{2}$,把$x= \frac {y}{2}$,代入已知方程,得$(\frac {y}{2})^{2}+\frac {y}{2}-1= 0$。化简,得$y^{2}+2y-4= 0$,故所求方程为$y^{2}+2y-4= 0$。
这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”。
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求：把所求方程化为一般形式)：
(1)已知方程$x^{2}+2x-1= 0$,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数,则所求方程为______；
(2)已知关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$有两个不等于零的实数根,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的倒数。
$y^{2}-2y-1=0$
解:设所求方程的根为y,则$y=\frac {1}{x}(x≠0)$,
$\therefore x=\frac {1}{y}(y≠0)$,把$x=\frac {1}{y}$代入已知方程$ax^{2}+bx+c=0$,得$a(\frac {1}{y})^{2}+b(\frac {1}{y})+c=0$,
$\therefore cy^{2}+by+a=0$.
$\because$关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$有两个不等于零的实数根,$\therefore c≠0$,
$\therefore$所求方程为$cy^{2}+by+a=0(c≠0)$.
答案：
(1)$y^{2}-2y-1=0$ 点拨:设所求方程的根为y,则$y=-x,\therefore x=-y$,
把$x=-y$代入已知方程$x^{2}+2x-1=0$,得$y^{2}-2y-1=0$.
(2)解:设所求方程的根为y,则$y=\frac {1}{x}(x≠0)$,
$\therefore x=\frac {1}{y}(y≠0)$,把$x=\frac {1}{y}$代入已知方程$ax^{2}+bx+c=0$,得$a(\frac {1}{y})^{2}+b(\frac {1}{y})+c=0$,
$\therefore cy^{2}+by+a=0$.
$\because$关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$有两个不等于零的实数根,$\therefore c≠0$,
$\therefore$所求方程为$cy^{2}+by+a=0(c≠0)$.
(1)$y^{2}-2y-1=0$ 点拨:设所求方程的根为y,则$y=-x,\therefore x=-y$,
把$x=-y$代入已知方程$x^{2}+2x-1=0$,得$y^{2}-2y-1=0$.
(2)解:设所求方程的根为y,则$y=\frac {1}{x}(x≠0)$,
$\therefore x=\frac {1}{y}(y≠0)$,把$x=\frac {1}{y}$代入已知方程$ax^{2}+bx+c=0$,得$a(\frac {1}{y})^{2}+b(\frac {1}{y})+c=0$,
$\therefore cy^{2}+by+a=0$.
$\because$关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$有两个不等于零的实数根,$\therefore c≠0$,
$\therefore$所求方程为$cy^{2}+by+a=0(c≠0)$.
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