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1. (2023·菏泽)若一个点的纵坐标是其横坐标的 3 倍,则称这个点为“三倍点”,如：$A(1,3)$,$B(-2,-6)$,$C(0,0)$等都是“三倍点”. 在$-3\lt x\lt1$的范围内,若二次函数$y= -x^{2}-x+c$的图象上至少存在一个“三倍点”,则$c$的取值范围是(
A.$-\frac {1}{4}\leqslant c\lt1$
B.$-4\leqslant c\lt-3$
C.$-\frac {1}{4}\leqslant c\lt6$
D.$-4\leqslant c\lt5$
D
)A.$-\frac {1}{4}\leqslant c\lt1$
B.$-4\leqslant c\lt-3$
C.$-\frac {1}{4}\leqslant c\lt6$
D.$-4\leqslant c\lt5$
答案：
D 点拨:“三倍点”所在的直线的函数解析式为 y=3x,令3x=-x²-x+c,即x²+4x-c=0.
∵在-3＜x＜1 的范围内,y=-x²-x+c 的图象上至少存在一个“三倍点”,
∴抛物线 y=x²+4x 与直线 y=c 在-3＜x＜1 的范围内有交点.
∵当-3＜x＜1 时,函数 y=x²+4x的取值范围是-4≤y＜5,
∴c 的取值范围为-4≤c＜5.
∵在-3＜x＜1 的范围内,y=-x²-x+c 的图象上至少存在一个“三倍点”,
∴抛物线 y=x²+4x 与直线 y=c 在-3＜x＜1 的范围内有交点.
∵当-3＜x＜1 时,函数 y=x²+4x的取值范围是-4≤y＜5,
∴c 的取值范围为-4≤c＜5.
2. 定义：两个二次项系数之和为 1,对称轴相同,且图象与$y$轴的交点也相同的二次函数互为“友好同轴二次函数”. 例如：$y= 2x^{2}+4x-5$的“友好同轴二次函数”的解析式为$y= -x^{2}-2x-5$.
(1) 函数$y= \frac {1}{4}x^{2}-2x+3$的“友好同轴二次函数”的解析式为______
(2) 当$-1\leqslant x\leqslant4$时,函数$y= (1-a)x^{2}-2(1-a)x+3(a\neq0且a\neq1)$的“友好同轴二次函数”有最大值 5,求$a$的值.
(1) 函数$y= \frac {1}{4}x^{2}-2x+3$的“友好同轴二次函数”的解析式为______
$y=\frac{3}{4}x^{2}-6x+3$
；(2) 当$-1\leqslant x\leqslant4$时,函数$y= (1-a)x^{2}-2(1-a)x+3(a\neq0且a\neq1)$的“友好同轴二次函数”有最大值 5,求$a$的值.
解:∵函数$y=(1-a)x^{2}-2(1-a)x+3$图象的对称轴为直线$x=1$,∴函数$y=(1-a)x^{2}-2(1-a)x+3$的“友好同轴二次函数”的解析式为$y=ax^{2}-2ax+3=a(x-1)^{2}-a+3$,∴其顶点坐标为$(1,-a+3)$.当$a＜0$时,函数的最大值为$-a+3=5$,∴$a=-2$;当$a＞0$时,抛物线开口向上.∵$1-(-1)＜4-1$,∴$x=4$时,$y$取得最大值,为$16a-8a+3=8a+3$,∴$8a+3=5$,∴$a=\frac{1}{4}$.综上,$a$的值为$-2$或$\frac{1}{4}$.
答案：
(1)y=3/4x²-6x+3 点拨:
∵y=1/4x²-2x+3 中 a=1/4,函数图象的对称轴为直线x=-(-2)/(2×1/4)=4,c=3,
∴y=1/4x²-2x+3 的“友好同轴二次函数”中 a=3/4,对称轴为直线 x=4,c=3,
∴y=3/4x²-6x+3.
(2)解:
∵函数 y=(1-a)x²-2(1-a)x+3 图象的对称轴为直线 x=1,
∴函数 y=(1-a)x²-2(1-a)x+3 的“友好同轴二次函数”的解析式为 y=ax²-2ax+3=a(x-1)²-a+3,
∴其顶点坐标为(1,-a+3).当 a＜0 时,函数的最大值为-a+3=5,
∴a=-2;当 a＞0 时,抛物线开口向上.
∵1-(-1)＜4-1,
∴x=4 时,y 取得最大值,为 16a-8a+3=8a+3,
∴8a+3=5,
∴a=1/4.综上,a 的值为-2 或 1/4.
(1)y=3/4x²-6x+3 点拨:
∵y=1/4x²-2x+3 中 a=1/4,函数图象的对称轴为直线x=-(-2)/(2×1/4)=4,c=3,
∴y=1/4x²-2x+3 的“友好同轴二次函数”中 a=3/4,对称轴为直线 x=4,c=3,
∴y=3/4x²-6x+3.
(2)解:
∵函数 y=(1-a)x²-2(1-a)x+3 图象的对称轴为直线 x=1,
∴函数 y=(1-a)x²-2(1-a)x+3 的“友好同轴二次函数”的解析式为 y=ax²-2ax+3=a(x-1)²-a+3,
∴其顶点坐标为(1,-a+3).当 a＜0 时,函数的最大值为-a+3=5,
∴a=-2;当 a＞0 时,抛物线开口向上.
∵1-(-1)＜4-1,
∴x=4 时,y 取得最大值,为 16a-8a+3=8a+3,
∴8a+3=5,
∴a=1/4.综上,a 的值为-2 或 1/4.
3. 定义：关于$x$轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫做“同轴对称抛物线”.
(1) 求抛物线$y= -2x^{2}+4x+3$的“同轴对称抛物线”的函数解析式；
(2) 已知抛物线$L:y= ax^{2}-4ax+1$,当抛物线$L$与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内(不包括边界)共有 11 个横、纵坐标均为整数的点时,求$a$的取值范围.
(1) 求抛物线$y= -2x^{2}+4x+3$的“同轴对称抛物线”的函数解析式；
(2) 已知抛物线$L:y= ax^{2}-4ax+1$,当抛物线$L$与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内(不包括边界)共有 11 个横、纵坐标均为整数的点时,求$a$的取值范围.
答案：
解:
(1)
∵y=-2x²+4x+3=-2(x-1)²+5,
∴“同轴对称抛物线”的函数解析式为 y=2(x-1)²-5.
(2)抛物线 L 的对称轴为直线 x=2,顶点坐标为(2,1-4a).
∵L 与其“同轴对称抛物线”关于 x 轴对称,
∴整点也是关于 x 轴对称出现的,
∴封闭区域内在 x 轴上的整点可以是 3 个或 5 个,L 与 x 轴围成的区域内整点的个数为 4 或 3,当 a＞0 时,
∵L 开口向上,与 y 轴交于点(0,1),
∴封闭区域内在 x 轴上只可能有 3 个整点,L 与 x 轴围成的区域内有 4 个整点,
∴当 x=1 时,-2≤1-3a＜-1,当 x=2 时,-3≤1-4a＜-2,
∴3/4≤a≤1.当 a＜0 时,
∵L 开口向下,与 y 轴交于点(0,1),
∴封闭区域内在 x 轴上只可能有 5 个整点,L 与 x 轴围成的区域内有 3 个整点,
∴当 x=2 时,1＜1-4a≤2,当 x=-1 时,5a+1≤0,
∴-1/4≤a≤-1/5.综上所述,a 的取值范围为 3/4≤a≤1 或-1/4≤a≤-1/5.
(1)
∵y=-2x²+4x+3=-2(x-1)²+5,
∴“同轴对称抛物线”的函数解析式为 y=2(x-1)²-5.
(2)抛物线 L 的对称轴为直线 x=2,顶点坐标为(2,1-4a).
∵L 与其“同轴对称抛物线”关于 x 轴对称,
∴整点也是关于 x 轴对称出现的,
∴封闭区域内在 x 轴上的整点可以是 3 个或 5 个,L 与 x 轴围成的区域内整点的个数为 4 或 3,当 a＞0 时,
∵L 开口向上,与 y 轴交于点(0,1),
∴封闭区域内在 x 轴上只可能有 3 个整点,L 与 x 轴围成的区域内有 4 个整点,
∴当 x=1 时,-2≤1-3a＜-1,当 x=2 时,-3≤1-4a＜-2,
∴3/4≤a≤1.当 a＜0 时,
∵L 开口向下,与 y 轴交于点(0,1),
∴封闭区域内在 x 轴上只可能有 5 个整点,L 与 x 轴围成的区域内有 3 个整点,
∴当 x=2 时,1＜1-4a≤2,当 x=-1 时,5a+1≤0,
∴-1/4≤a≤-1/5.综上所述,a 的取值范围为 3/4≤a≤1 或-1/4≤a≤-1/5.
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