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1. (1)二次函数 $ y = x^{2}-2x - 3 $,当 $ m - 2 \leq x \leq m $ 时,函数有最大值 5,则 $ m $ 的值可能为
(2)若实数 $ a,b,c $ 满足 $ a - b^{2}-2 = 0 $,$ 2a^{2}-4b^{2}-c = 0 $,则 $ c $ 的最小值是
0或4
；(2)若实数 $ a,b,c $ 满足 $ a - b^{2}-2 = 0 $,$ 2a^{2}-4b^{2}-c = 0 $,则 $ c $ 的最小值是
8
。
答案：
1.
(1)0或4 点拨:令y=5,则x²-2x-3=5,解得x₁=4,x₂=-2.结合图象可知,当m-2=-2或m=4时,函数有最大值5,
∴m的值可能是0或4.
(2)8 点拨:
∵a-b²-2=0,
∴b²=a-2≥0,
∴a≥2.
∵2a²-4b²-c=0,
∴2a²-4(a-2)-c=0,
∴c=2a²-4a+8=2(a-1)²+6.
∵a≥2,
∴当a=2时,c取最小值,为2×(2-1)²+6=2+6=8.
(1)0或4 点拨:令y=5,则x²-2x-3=5,解得x₁=4,x₂=-2.结合图象可知,当m-2=-2或m=4时,函数有最大值5,
∴m的值可能是0或4.
(2)8 点拨:
∵a-b²-2=0,
∴b²=a-2≥0,
∴a≥2.
∵2a²-4b²-c=0,
∴2a²-4(a-2)-c=0,
∴c=2a²-4a+8=2(a-1)²+6.
∵a≥2,
∴当a=2时,c取最小值,为2×(2-1)²+6=2+6=8.
2. 当 $ -2 \leq x \leq 1 $ 时,二次函数 $ y = -(x - m)^{2}+2 $ 的最大值是 1,求实数 $ m $ 的值。
答案：
2.解:
∵y=-(x-m)²+2,
∴抛物线开口向下,对称轴为直线x=m.若m＞1,则当-2≤x≤1时,y随x的增大而增大,
∴当x=1时,y有最大值.
∴1=-(1-m)²+2,解得m=0(舍去)或m=2;若-2≤m≤1,则y的最大值为2,不合题意;若m＜-2,则当-2≤x≤1时,y随x的增大而减小,
∴当x=-2时,y有最大值,
∴1=-(-2-m)²+2,解得m=-1(舍去)或m=-3.综上可知,实数m的值为2或-3.
∵y=-(x-m)²+2,
∴抛物线开口向下,对称轴为直线x=m.若m＞1,则当-2≤x≤1时,y随x的增大而增大,
∴当x=1时,y有最大值.
∴1=-(1-m)²+2,解得m=0(舍去)或m=2;若-2≤m≤1,则y的最大值为2,不合题意;若m＜-2,则当-2≤x≤1时,y随x的增大而减小,
∴当x=-2时,y有最大值,
∴1=-(-2-m)²+2,解得m=-1(舍去)或m=-3.综上可知,实数m的值为2或-3.
3. (2024·鄞州区期末)已知二次函数的解析式为 $ y = -x^{2}+2mx - m^{2}+4 $。
(1)求证：该二次函数的图象与 $ x $ 轴一定有 2 个交点；
(2)若 $ m = 2 $,点 $ M(n,y_{1}) $,$ N(n + 2,y_{2}) $ 都在该二次函数的图象上,且 $ y_{1}y_{2} ＜ 0 $,求 $ n $ 的取值范围；
(3)当 $ m - 3 \leq x \leq 5 $ 时,函数最大值与最小值的差为 8,求 $ m $ 的值。
(1)求证：该二次函数的图象与 $ x $ 轴一定有 2 个交点；
(2)若 $ m = 2 $,点 $ M(n,y_{1}) $,$ N(n + 2,y_{2}) $ 都在该二次函数的图象上,且 $ y_{1}y_{2} ＜ 0 $,求 $ n $ 的取值范围；
(3)当 $ m - 3 \leq x \leq 5 $ 时,函数最大值与最小值的差为 8,求 $ m $ 的值。
答案：
3.
(1)证明:二次函数y=-x²+2mx-m²+4中,令y=0,则二次函数转化成二次方程-x²+2mx-m²+4=0.
∵a=-1,b=2m,c=4-m²,Δ=b²-4ac=4m²-4×(-1)×(4-m²)=4m²+16-4m²=16＞0,
∴该二次函数的图象与x轴一定有2个交点.
(2)解:
∵m=2,
∴y=-x²+4x,令y=0,则-x²+4x=0,即x₁=0,x₂=4,
∴抛物线与x轴的交点为(0,0)和(4,0).
∵点M(n,y₁),N(n+2,y₂)都在该二次函数的图象上,且y₁y₂＜0,
∴①{n＜0,n+2＞0,即-2＜n＜0;②{0＜n＜4,n+2＞4,即2＜n＜4.综上所述,-2＜n＜0或2＜n＜4.
(3)解:
∵y=-x²+2mx-m²+4=-(x-m)²+4,
∴抛物线的对称轴为直线x=m.①若m＜(m-3+5)/2,即m＜2,则当x=m时,y_max=4,当x=5时,y_min=-(5-m)²+4,
∴4-[-(5-m)²+4]=8,
∴m₁=5+2√2(舍去),m₂=5-2√2(舍去).②若2≤m≤5,则当x=m时,y_max=4,当x=m-3时,y_min=-5,
∵4-(-5)=9≠8,不符合题意,舍去;③若5＜m≤8,则当x=5时,y_max=-(5-m)²+4,当x=m-3时,y_min=-5,
∴-(5-m)²+4-(-5)=8,
∴m₁=6,m₂=4(舍去).综上所述,m=6.
(1)证明:二次函数y=-x²+2mx-m²+4中,令y=0,则二次函数转化成二次方程-x²+2mx-m²+4=0.
∵a=-1,b=2m,c=4-m²,Δ=b²-4ac=4m²-4×(-1)×(4-m²)=4m²+16-4m²=16＞0,
∴该二次函数的图象与x轴一定有2个交点.
(2)解:
∵m=2,
∴y=-x²+4x,令y=0,则-x²+4x=0,即x₁=0,x₂=4,
∴抛物线与x轴的交点为(0,0)和(4,0).
∵点M(n,y₁),N(n+2,y₂)都在该二次函数的图象上,且y₁y₂＜0,
∴①{n＜0,n+2＞0,即-2＜n＜0;②{0＜n＜4,n+2＞4,即2＜n＜4.综上所述,-2＜n＜0或2＜n＜4.
(3)解:
∵y=-x²+2mx-m²+4=-(x-m)²+4,
∴抛物线的对称轴为直线x=m.①若m＜(m-3+5)/2,即m＜2,则当x=m时,y_max=4,当x=5时,y_min=-(5-m)²+4,
∴4-[-(5-m)²+4]=8,
∴m₁=5+2√2(舍去),m₂=5-2√2(舍去).②若2≤m≤5,则当x=m时,y_max=4,当x=m-3时,y_min=-5,
∵4-(-5)=9≠8,不符合题意,舍去;③若5＜m≤8,则当x=5时,y_max=-(5-m)²+4,当x=m-3时,y_min=-5,
∴-(5-m)²+4-(-5)=8,
∴m₁=6,m₂=4(舍去).综上所述,m=6.
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