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1. 已知抛物线 $ y = \frac{1}{3}x^2 + bx + c $ 过点 $ C(-1, m) $,$ D(5, m) $,$ A(4, -1) $,则该抛物线的函数解析式为
$y=\frac{1}{3}x^{2}-\frac{4}{3}x-1$
。
答案：
$y=\frac{1}{3}x^{2}-\frac{4}{3}x-1$ 点拨:
∵抛物线$y=\frac{1}{3}x^{2}+bx+c$过点$C(-1,m)$和$D(5,m)$,
∴对称轴是直线$x=\frac{-1+5}{2}=2$,
∴$-\frac{b}{2×\frac{1}{3}}=2$,
∴$b=-\frac{4}{3}$,
∴$y=\frac{1}{3}x^{2}-\frac{4}{3}x+c$.又
∵抛物线过点$A(4,-1)$,
∴$-1=\frac{1}{3}×4^{2}-\frac{4}{3}×4+c$,
∴$c=-1$,
∴抛物线的函数解析式为$y=\frac{1}{3}x^{2}-\frac{4}{3}x-1$.
∵抛物线$y=\frac{1}{3}x^{2}+bx+c$过点$C(-1,m)$和$D(5,m)$,
∴对称轴是直线$x=\frac{-1+5}{2}=2$,
∴$-\frac{b}{2×\frac{1}{3}}=2$,
∴$b=-\frac{4}{3}$,
∴$y=\frac{1}{3}x^{2}-\frac{4}{3}x+c$.又
∵抛物线过点$A(4,-1)$,
∴$-1=\frac{1}{3}×4^{2}-\frac{4}{3}×4+c$,
∴$c=-1$,
∴抛物线的函数解析式为$y=\frac{1}{3}x^{2}-\frac{4}{3}x-1$.
2. 如图,已知抛物线 $ y = mx^2 - 2mx - 6 $,$ C $ 为 $ y $ 轴正半轴上一点,过点 $ C $ 作 $ AB // x $ 轴交抛物线于点 $ A $,$ B $(点 $ A $ 在点 $ B $ 的左侧),且 $ OC = 2 $,$ AB = 6 $。求该抛物线的对称轴及函数解析式。
答案：
解:
∵$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2m}{2m}=1$,
∴抛物线的对称轴为直线$x=1$.设对称轴$x=1$交$AB$于点$E$,交$x$轴于点$F$.
∵对称轴$x=1$,$OC=2$,$AB=6$,
∴$AE=BE=3$,$CE=OF=1$,
∴$AC=2$,$BC=4$,
∴$A(-2,2)$,$B(4,2)$.将$(-2,2)$代入抛物线的函数解析式,得$2=4m+4m-6$,
∴$m=1$,
∴抛物线的函数解析式为$y=x^{2}-2x-6$.
∵$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2m}{2m}=1$,
∴抛物线的对称轴为直线$x=1$.设对称轴$x=1$交$AB$于点$E$,交$x$轴于点$F$.
∵对称轴$x=1$,$OC=2$,$AB=6$,
∴$AE=BE=3$,$CE=OF=1$,
∴$AC=2$,$BC=4$,
∴$A(-2,2)$,$B(4,2)$.将$(-2,2)$代入抛物线的函数解析式,得$2=4m+4m-6$,
∴$m=1$,
∴抛物线的函数解析式为$y=x^{2}-2x-6$.
3. (2024·山东)在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,点 $ P(2, -3) $ 在二次函数 $ y = ax^2 + bx - 3(a ＞ 0) $ 的图象上,记该二次函数图象的对称轴为直线 $ x = m $。
(1)求 $ m $ 的值；
(2)若点 $ Q(m, -4) $ 在二次函数 $ y = ax^2 + bx - 3(a ＞ 0) $ 的图象上,将该二次函数的图象向上平移 5 个单位长度,得到新的二次函数的图象。当 $ 0 \leq x \leq 4 $ 时,求新的二次函数的最大值与最小值的和；
(3)设二次函数 $ y = ax^2 + bx - 3(a ＞ 0) $ 的图象与 $ x $ 轴的交点坐标分别为 $ (x_1, 0) $,$ (x_2, 0)(x_1 ＜ x_2) $。若 $ 4 ＜ x_2 - x_1 ＜ 6 $,求 $ a $ 的取值范围。
(1)求 $ m $ 的值；
(2)若点 $ Q(m, -4) $ 在二次函数 $ y = ax^2 + bx - 3(a ＞ 0) $ 的图象上,将该二次函数的图象向上平移 5 个单位长度,得到新的二次函数的图象。当 $ 0 \leq x \leq 4 $ 时,求新的二次函数的最大值与最小值的和；
(3)设二次函数 $ y = ax^2 + bx - 3(a ＞ 0) $ 的图象与 $ x $ 轴的交点坐标分别为 $ (x_1, 0) $,$ (x_2, 0)(x_1 ＜ x_2) $。若 $ 4 ＜ x_2 - x_1 ＜ 6 $,求 $ a $ 的取值范围。
答案：
(1)
∵点$P(2,-3)$在二次函数$y=ax^{2}+bx-3(a＞0)$的图象上,
∴$4a+2b-3=-3$,解得$b=-2a$,
∴抛物线为$y=ax^{2}-2ax-3$,
∴抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1$,
∴$m=1$.
(2)
∵点$Q(1,-4)$在二次函数$y=ax^{2}-2ax-3(a＞0)$的图象上,
∴$a-2a-3=-4$,解得$a=1$,
∴抛物线的函数解析式为$y=x^{2}-2x-3=(x-1)^{2}-4$.将该二次函数的图象向上平移5个单位长度,得到新的图象的函数解析式为$y=(x-1)^{2}-4+5=(x-1)^{2}+1$.
∵$0\leqslant x\leqslant4$,
∴当$x=1$时,函数有最小值为1,当$x=4$时,函数有最大值为$(4-1)^{2}+1=10$,
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为11.
(3)
∵二次函数$y=ax^{2}-2ax-3(a＞0)$的图象与$x$轴的交点坐标分别为$(x_{1},0)$,$(x_{2},0)(x_{1}＜x_{2})$,
∴$x_{1}+x_{2}=2$,$x_{1}\cdot x_{2}=-\frac{3}{a}$.
∵$x_{2}-x_{1}=\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}$,
∴$x_{2}-x_{1}=\sqrt{4+\frac{12}{a}}=2\sqrt{1+\frac{3}{a}}$.
∵$4＜x_{2}-x_{1}＜6$,
∴$4＜2\sqrt{1+\frac{3}{a}}＜6$,即$2＜\sqrt{1+\frac{3}{a}}＜3$,解得$\frac{3}{8}＜a＜1$.
(1)
∵点$P(2,-3)$在二次函数$y=ax^{2}+bx-3(a＞0)$的图象上,
∴$4a+2b-3=-3$,解得$b=-2a$,
∴抛物线为$y=ax^{2}-2ax-3$,
∴抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1$,
∴$m=1$.
(2)
∵点$Q(1,-4)$在二次函数$y=ax^{2}-2ax-3(a＞0)$的图象上,
∴$a-2a-3=-4$,解得$a=1$,
∴抛物线的函数解析式为$y=x^{2}-2x-3=(x-1)^{2}-4$.将该二次函数的图象向上平移5个单位长度,得到新的图象的函数解析式为$y=(x-1)^{2}-4+5=(x-1)^{2}+1$.
∵$0\leqslant x\leqslant4$,
∴当$x=1$时,函数有最小值为1,当$x=4$时,函数有最大值为$(4-1)^{2}+1=10$,
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为11.
(3)
∵二次函数$y=ax^{2}-2ax-3(a＞0)$的图象与$x$轴的交点坐标分别为$(x_{1},0)$,$(x_{2},0)(x_{1}＜x_{2})$,
∴$x_{1}+x_{2}=2$,$x_{1}\cdot x_{2}=-\frac{3}{a}$.
∵$x_{2}-x_{1}=\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}$,
∴$x_{2}-x_{1}=\sqrt{4+\frac{12}{a}}=2\sqrt{1+\frac{3}{a}}$.
∵$4＜x_{2}-x_{1}＜6$,
∴$4＜2\sqrt{1+\frac{3}{a}}＜6$,即$2＜\sqrt{1+\frac{3}{a}}＜3$,解得$\frac{3}{8}＜a＜1$.
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